М3 §2. Давление жидкости: почему плотина толще у дна¶
Вопросы к М3 §2¶
В прошлом параграфе (М3 §1) давление создавала сила, приложенная к площадке: ножка стула, лезвие ножа, гусеница трактора. Формула \(p = F/S\) отвечала на вопрос «во сколько раз сила размазана по площади». Теперь налейте в тот же сосуд воду — и окажется, что никто ничего никуда не прикладывал, а давление есть, и оно разное в разных точках.
Пять вопросов, на которые эта глава отвечает по порядку.
- Стенка плотины у поверхности тонкая, а у дна — в несколько раз толще. Почему инженеры не делают её одинаковой по всей высоте?
- Если в высокой банке проделать три отверстия — у самого верха, посередине и у дна, — почему из нижнего вода вырывается быстрее всех?
- Почему жидкость давит не только на дно, но и на боковые стенки, и даже вверх — на нижнюю сторону крышки, погружённой в воду?
- Почему давление на дне узкой мензурки с одним литром воды и на дне широкой бочки с двумя сотнями литров одинаково, если уровень воды одинаков?
- Почему домкратом, нажимая на рукоятку с силой около 150 Н (столько весит гиря массой 15 кг), можно поднять автомобиль?
Работать будем в трёх мирах сразу. Физика даст явление: жидкость передаёт давление во все стороны, а её собственный вес добавляет давление с глубиной. Математика узнает в этом старую знакомую — линейную функцию \(y = kx + b\), ту самую, что описывала равномерное движение в М1 §3. Информатика построит график \(p(h)\) и позволит за секунду сравнить две жидкости, не расчерчивая тетрадь по линейке.
М3 §2.1. Физика: что налито¶
Возьмите две одинаковые полуторалитровые бутылки. В одной вода, в другой подсолнечное масло. Объём один и тот же, а на весах они дают разное: вода — около 1,5 кг, масло — около 1,4 кг. Налейте в третью такую же бутылку ртуть (мысленно: в руках её лучше не держать) — получите больше двадцати килограммов.
Значит, чтобы говорить о давлении жидкости, мало знать, сколько её налито по объёму. Нужно знать, какая это жидкость: сколько килограммов вещества умещается в одном кубическом метре. Эта характеристика вещества и называется плотностью.
Плотность¶
Плотность — масса вещества, приходящаяся на единицу объёма:
Обозначается греческой буквой «ро» — \(\rho\). Основная единица в СИ — килограмм на кубический метр, кг/м³. В таблицах часто пишут в граммах на кубический сантиметр, г/см³.
Перевод между ними один и тот же всегда. В кубическом метре — миллион кубических сантиметров, в килограмме — тысяча граммов, поэтому
Умножили на 1000 — перешли от г/см³ к кг/м³. Правило простое, но забывают его чаще всего: подставили в формулу давления 1 вместо 1000 — и ответ оказался в тысячу раз меньше нужного.
Из определения сразу следует то, чем мы будем пользоваться постоянно: если известны плотность и объём, известна и масса.
| Вещество | ρ, кг/м³ | ρ, г/см³ |
|---|---|---|
| Спирт | 790 | 0,79 |
| Керосин | 800 | 0,80 |
| Масло подсолнечное | 920 | 0,92 |
| Вода пресная | 1000 | 1,00 |
| Вода морская | 1030 | 1,03 |
| Ртуть | 13600 | 13,6 |
Сколько весит вода в аквариуме¶
Аквариум имеет дно 60 см × 30 см, налито до высоты 40 см. Сколько весит вода?
Объём воды — это объём прямоугольного бруска: площадь дна умножить на высоту.
Масса: \(m = \rho V = 1000 \cdot 0{,}072 = 72\) кг. Вес: \(P = mg = 72 \cdot 9{,}8 \approx 706\) Н.
Семьдесят два килограмма — это взрослый человек. Стеклянный ящик размером с чемодан держит на своём дне взрослого человека, и вот почему аквариум ставят не на любую полку.
Здесь и дальше берём \(g \approx 9{,}8\) Н/кг; когда нужна грубая прикидка в уме, годится \(g \approx 10\) Н/кг.
М3 §2.2. Физика: шар Паскаля¶
Есть старый школьный прибор — шар Паскаля. Это полая сфера, продырявленная во многих местах: сверху, снизу, с боков, наискось. К шару приделан цилиндр с поршнем. Шар наполняют водой и вдавливают поршень.
Что происходит? Из всех отверстий разом бьют струи — и вбок, и вниз, и вверх. Не только вниз, куда тянет вес. Не только в ту сторону, куда двигался поршень. Во все стороны — и одинаково, если не приглядываться к небольшой разнице между верхом и низом шара: её создаёт вес самой воды, и о ней речь в §2.3.
Вдавили сильнее — все струи одновременно стали длиннее. Отпустили — все разом опали. Жидкость не выбирает направление: она передаёт полученное давление всюду одинаково.
То же самое проделывают с воздухом вместо воды. Результат тот же — газ ведёт себя так же. Разница только в том, что газ легко сжать, а жидкость почти нет; на передачу давления это не влияет.
Закон Паскаля¶
Закон Паскаля. Давление, произведённое на жидкость или газ, передаётся без изменения в каждую точку жидкости или газа и действует одинаково по всем направлениям.
Слова «без изменения» и «по всем направлениям» здесь не украшение — это два разных утверждения, и оба проверяются на шаре Паскаля.
Без изменения: если поршень создал давление 20 кПа, то и у противоположной стенки шара это давление 20 кПа, а не половина и не десятая часть. Ни одна часть жидкости не «съедает» давление по дороге.
По всем направлениям: погружённая площадка испытывает одно и то же давление, как её ни поверни. Крышка на дне, крышка на боковой стенке, крышка, подставленная снизу, — на одной глубине давление на всех трёх одинаково.
Давление, которое создаёт на поверхности жидкости что-то внешнее — поршень, сжатый воздух над водой, крышка с грузом, — называется внешним давлением и обозначается \(p_0\). По закону Паскаля оно доходит до каждой точки жидкости целиком. Откуда именно взялось это внешнее давление, нам сейчас неважно: важно, что оно есть и что оно передаётся полностью.
Ошибка: «жидкость давит только вниз, ведь вес направлен вни绶
Рассуждение звучит убедительно: вес воды тянет её вниз, значит, и давит она вниз, на дно. На стенки — разве что «немножко», а вверх — вообще никак.
Шар Паскаля опровергает это одним опытом: верхние отверстия дают такие же струи, как нижние. Есть и опыт попроще. Возьмите стакан без дна, затяните открытый конец плотным листком бумаги, придержите пальцем и погрузите стакан бумагой вниз в воду. Уберите палец — листок не падает. Его прижимает вода снизу вверх.
Откуда берётся давление вверх, если вес направлен вниз? Жидкость текуча: её частицы свободно смещаются в любую сторону. Сдавленная сверху, она напирает на всё, что её окружает, включая то, что находится под ней и сбоку от неё. Направление веса определяет, как растёт давление с глубиной; направление, в котором это давление действует, — все сразу.
М3 §2.3. Физика: вес столба¶
Внешнее давление — не единственное. Даже в открытом ведре, куда никто ничего не вдавливает, у дна давление больше, чем у поверхности. Причина проста: над площадкой на дне стоит столб воды, и этот столб имеет вес.
Выделим мысленно на глубине \(h\) горизонтальную площадку площадью \(S\) и посмотрим на столб жидкости прямо над ней.
Вес столба ρgSh давит на площадку S; при делении на S площадь сокращается, и остаётся p = ρgh
Объём столба: \(V = S h\).
Масса столба: \(m = \rho V = \rho S h\).
Вес столба: \(P = mg = \rho g S h\).
Осторожно с буквами: большая \(P\) — это вес столба, он измеряется в ньютонах; маленькая \(p\) — давление, оно измеряется в паскалях. В тетради они выглядят почти одинаково, а величины это разные; если засомневались, какая перед вами, посмотрите на единицы.
Этим весом столб давит на площадку. Давление находим по формуле из М3 §1:
Площадь сократилась. Это главное событие вывода: результат не зависит от того, какую площадку мы выделили — с ноготь или со стол. Он зависит только от плотности жидкости и от глубины.
Две формулы, которые надо помнить¶
Давление столба жидкости (гидростатическое давление) на глубине \(h\):
Проверим единицы: \(\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \dfrac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot \text{м} = \dfrac{\text{Н}}{\text{м}^2} = \text{Па}\). Паскали, как и должно быть.
Если сверху на жидкость давит ещё и что-то внешнее — поршень, сжатый газ, груз на крышке, — то по закону Паскаля это давление доходит до глубины \(h\) целиком и просто прибавляется:
Полное давление на глубине \(h\):
В открытом сосуде, когда мы учитываем только жидкость, \(p_0 = 0\), и остаётся \(p = \rho g h\).
Три величины в формуле — и ни одной лишней. Нет площади дна. Нет объёма. Нет формы сосуда. Нет полной массы налитого. Только то, что налито (\(\rho\)), то, на какой вы глубине (\(h\)), и то, на какой вы планете (\(g\)).
Сколько это в паскалях¶
Десять метров воды. \(p = 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 10 = 98\,000\) Па \(= 98\) кПа \(\approx 0{,}1\) МПа.
Число стоит запомнить: каждые 10 метров воды — примерно 100 кПа. Именно столько вода добавляет к тому давлению, какое было на её поверхности. Ныряльщик эту прибавку чувствует ушами уже на трёх метрах, а на десяти она сравнима со всем давлением, которое он ощущал наверху.
Дно аквариума из §2.1 (h = 0,4 м): \(p = 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}4 = 3920\) Па \(\approx 3{,}9\) кПа.
Дно цистерны с керосином высотой 1,7 м: \(p = 800 \cdot 9{,}8 \cdot 1{,}7 = 13\,328\) Па \(\approx 13\) кПа.
Ртуть высотой 76 см: \(p = 13\,600 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}76 \approx 101\,300\) Па \(\approx 101\) кПа. Столбик ртути ростом меньше метра даёт то же, что десять метров воды: плотность больше в 13,6 раза, значит, высота нужна во столько же раз меньше.
Плотина. У поверхности вода почти не давит: на глубине 0,5 м всего 4,9 кПа. На глубине 40 м — уже 392 кПа, то есть почти 40 Н на каждый квадратный сантиметр стенки. Стенка обязана быть тем толще, чем ниже. Отсюда клиновидный разрез плотины: вверху тонко, внизу мощно.
Ошибка: «чем больше налито, тем сильнее давит»¶
Самое стойкое заблуждение этой главы: раз в бочке воды в двести раз больше, чем в мензурке, то и на дно она давит в двести раз сильнее.
Возьмём три сосуда: прямой цилиндр, конус, расширяющийся кверху, и конус, сужающийся кверху. Нальём во все три одну и ту же жидкость до одного уровня \(h\). Воды в них разное количество — от стакана до ведра. Давление на дне у всех трёх одинаково: \(p = \rho g h\). Это можно проверить: приделайте ко дну каждого сосуда тонкую вертикальную трубку — вода поднимется в них на одну и ту же высоту. Опыт настолько противоречит здравому смыслу, что получил имя — гидростатический парадокс.
Почему так? Потому что в выводе площадка сократилась, а форма сосуда в вывод вообще не входила. Давление в точке определяется высотой столба над этой точкой, а не тем, сколько жидкости стоит в стороне.
Различайте два вопроса — это и есть ключ:
- Давление на дне: \(p = \rho g h\) — зависит только от плотности и уровня.
- Сила давления на дно: \(F = pS = \rho g h S\) — зависит ещё и от площади дна.
У бочки давление такое же, как у мензурки, а сила больше — потому что дно шире. Смешивать давление и силу нельзя: в М3 §1 мы уже видели, что одна и та же сила даёт совершенно разное давление, а теперь видим обратное — одинаковое давление при совершенно разных силах.
Три струи из банки¶
Тот же вывод объясняет и банку с тремя отверстиями — у верха, посередине и у дна.
Скорость, с которой вода вырывается из отверстия, задаётся давлением на его уровне. У нижнего отверстия столб воды над ним самый высокий, давление самое большое — значит, и вытекает оттуда вода быстрее всех. У верхнего столб над отверстием почти нулевой, и струя еле сочится. Уровень воды в банке падает — все три струи слабеют, нижняя дольше всех остаётся заметной.
А вот на вопрос «какая струя улетит дальше по полу» ответ не такой прямой, и здесь легко попасться. Дальность зависит не только от скорости вылета, но и от того, сколько времени струя летит до пола. Нижняя вылетает быстро, но падать ей почти некуда; верхняя летит долго, но вылетает еле-еле. Если банка стоит прямо на полу, дальше всех обычно бьёт средняя струя. Если же банку поставить на край стола, так что все три струи падают с одной большой высоты, время падения у них почти одинаково — и тогда дальше всех действительно бьёт нижняя, самая быстрая.
Запомнить полезно именно физику, а не картинку: глубже — больше давление — больше скорость вылета. Куда после этого попадёт вода, решает уже полёт.
М3 §2.4. Математика: прямая p(h)¶
Посмотрите на формулу полного давления, забыв на минуту, что речь о воде:
Здесь \(h\) — то, что мы задаём. \(p\) — то, что получаем. А \(\rho\), \(g\) и \(p_0\) в одном сосуде не меняются. Значит, перед нами
Линейная функция. Та же самая, что в М1 §3 описывала равномерное движение: \(x(t) = v t + x_0\). Разные явления, одна математика.
| Движение (М1 §3) | Давление (здесь) | |
|---|---|---|
| Что задаём, \(x\) | время \(t\), с | глубина \(h\), м |
| Что получаем, \(y\) | координата \(x\), м | давление \(p\), Па |
| Наклон \(k\) | скорость \(v\), м/с | \(\rho g\), Па/м |
| Свободный член \(b\) | начальная координата \(x_0\), м | внешнее давление \(p_0\), Па |
| График | прямая | прямая |
Это первый случай в курсе, когда одна и та же математическая конструкция обслуживает два совершенно разных физических сюжета. Не «похожие формулы», а буквально один объект: выучив, как читать прямую в одном месте, вы умеете читать её в другом.
Что означают k и b¶
Угловой коэффициент \(k\) — это не просто «наклон линии на бумаге». Это физическая величина со своими единицами: сколько единиц \(y\) прибавляется на каждую единицу \(x\).
Для воды: \(k = 1000 \cdot 9{,}8 = 9800\) Па/м \(= 9{,}8\) кПа/м. Читается так: каждый метр глубины прибавляет 9,8 кПа. Для керосина \(k = 800 \cdot 9{,}8 = 7840\) Па/м — тот же метр даёт меньше, потому что керосин легче.
Отсюда полезный обратный ход: если по графику измерен наклон, плотность находится делением, \(\rho = k/g\). График опознаёт жидкость.
Свободный член \(b\) — значение функции при \(x = 0\). На графике это ордината точки, в которой прямая пересекает вертикальную ось; такую точку называют точкой пересечения с осью ординат. В нашей задаче \(b = p_0\) — давление на самой поверхности, на нулевой глубине. Если сосуд открыт и мы считаем только вес жидкости, \(b = 0\), и прямая выходит из начала координат. Если сверху поршень, прямая стартует не с нуля, а с высоты \(p_0\).
Как построить график p(h) за минуту¶
Прямая однозначно определяется двумя точками — третья и четвёртая нужны только для самопроверки. Отсюда порядок работы.
- Подписать оси: по горизонтали «\(h\), м», по вертикали «\(p\), кПа». Единицы указывать обязательно: график без единиц не говорит ни о чём.
- Взять две удобные глубины — обычно \(h = 0\) и правый край шкалы, например \(h = 10\) м.
- Посчитать давление в этих двух точках. Для воды: \(p(0) = 0\); \(p(10) = 9{,}8 \cdot 10 = 98\) кПа.
- Отметить обе точки и провести через них прямую.
- Проверить по третьей точке: \(p(5)\) должно быть 49 кПа — попадает ли середина отрезка туда, куда надо.
Сделаем это для двух жидкостей сразу — воды (\(\rho = 1000\)) и подсолнечного масла (\(\rho = 920\)).
p = ρgh для воды и подсолнечного масла: сплошная прямая — вода, она подписана на графике; пунктирная, чуть более пологая, — масло. Обе выходят из нуля, наклон k = ρg у воды больше
Обе прямые выходят из одной точки — из начала координат: на нулевой глубине обе жидкости дают ноль. Дальше они расходятся, и чем глубже, тем сильнее: у воды наклон круче. Разница наклонов — это в точности разница плотностей, умноженная на \(g\).
Ошибка: смешивать k и b¶
Прямая пропорциональность \(y = kx\) и линейная функция \(y = kx + b\) — не одно и то же, но привычка «прямая — значит, из нуля» держится крепко.
Проверьте себя на двух сосудах.
Открытый сосуд. Внешнего давления не учитываем: \(p = 9{,}8h\) (кПа). При \(h = 0\) давление ноль, прямая идёт из начала координат. Это прямая пропорциональность: увеличили глубину вдвое — давление выросло вдвое.
Сосуд под поршнем, который создаёт \(p_0 = 20\) кПа. Теперь \(p = 9{,}8h + 20\). При \(h = 0\) давление уже 20 кПа. Прямая та же по наклону, но поднята на 20 кПа вверх.
Внешнее давление p₀ = 20 кПа сдвигает прямую вверх целиком: свободный член меняется, наклон k = ρg остаётся прежним
И вот что важно: во втором случае удвоение глубины не удваивает давление. На 2 м: \(9{,}8 \cdot 2 + 20 = 39{,}6\) кПа. На 4 м: \(9{,}8 \cdot 4 + 20 = 59{,}2\) кПа. Выросло в 1,5 раза, а не в два. Прямая пропорциональность работает, только когда \(b = 0\); во всех остальных случаях зависимость линейная, но не пропорциональная.
Зато разность давлений на двух глубинах от \(p_0\) не зависит вовсе:
Свободный член сократился. На графике это видно так: прибавка \(p_0\) не поворачивает прямую, а сдвигает её вверх целиком — параллельный перенос. Наклон сдвиг не меняет.
М3 §2.5. Информатика: график за десять строк¶
Формулу мы вывели, прямую построили. Теперь пусть считает и рисует машина — не потому, что \(\rho g h\) трудно посчитать в столбик, а потому, что сравнивать наклоны, менять жидкости и глубины на бумаге долго, а здесь это одно число в одной строке.
Начнём с функции. Один раз записанная формула, которую можно вызывать сколько угодно раз, — это ровно то, чем занимался def в М0 §1.
G = 9.8 # Н/кг
def pressure_at_depth(h, rho, p0=0.0):
if h < 0:
print("Глубина не может быть отрицательной")
return None
if rho <= 0:
print("Плотность должна быть положительной")
return None
return p0 + rho * G * h
for h in [2, 5, 10]:
p = pressure_at_depth(h, 1000)
print(f"h = {h} м -> p = {p:.0f} Па = {p / 1000:.1f} кПа")
h = 2 м -> p = 19600 Па = 19.6 кПа
h = 5 м -> p = 49000 Па = 49.0 кПа
h = 10 м -> p = 98000 Па = 98.0 кПаТри вещи в этом коде стоит назвать по имени.
Параметр по умолчанию. Запись p0=0.0 означает: если внешнее давление не указано, считаем его нулём. Поэтому вызов pressure_at_depth(10, 1000) законен — сосуд открыт. А pressure_at_depth(10, 1000, 20000) считает тот же столб под поршнем в 20 кПа.
Проверка входных данных. Отрицательная глубина и неположительная плотность — не числа задачи, а описки. Функция не делает вид, что посчитала: она честно говорит, что не так, и возвращает None. Так же мы поступали с площадью в М3 §1.
Единицы в подписи. В f-строке рядом с каждым числом стоит единица. Число без единицы в физике не значит ничего, и печать это правило не отменяет.
Таблица до графика¶
Прежде чем рисовать линию, полезно увидеть числа, из которых она состоит. Соберём их циклом в два списка: глубины и давления.
G = 9.8
RHO_WATER = 1000
hs = []
ps = []
for i in range(6):
h = 2 * i
p = RHO_WATER * G * h / 1000 # сразу в кПа
hs.append(h)
ps.append(p)
print(f"h = {h} м, p = {p:.1f} кПа")
print("список глубин:", hs)
h = 0 м, p = 0.0 кПа
h = 2 м, p = 19.6 кПа
h = 4 м, p = 39.2 кПа
h = 6 м, p = 58.8 кПа
h = 8 м, p = 78.4 кПа
h = 10 м, p = 98.0 кПа
список глубин: [0, 2, 4, 6, 8, 10]Шесть строк — шесть точек будущего графика. Посмотрите на давления: от строки к строке прибавляется одно и то же — 19,6 кПа на каждые два метра, то есть 9,8 кПа на метр. Это и есть угловой коэффициент, увиденный в таблице, а не на картинке. Равные приращения при равных шагах — признак линейной зависимости; ровно так же в М1 §3 равные приращения координаты за равные времена означали равномерное движение.
Списки hs и ps — это уже готовые координаты точек, их можно передать в plt.plot.
График¶
Шести точек хватит для таблицы, но для гладкой линии их лучше взять больше. Строить полсотни точек циклом руками не хочется — для этого есть numpy.linspace: команда «дай мне столько-то чисел, равномерно разложенных от и до».
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
G = 9.8
h = np.linspace(0, 10, 51) # 51 глубина от 0 до 10 м
p_water = 1000 * G * h / 1000 # кПа
p_oil = 920 * G * h / 1000 # кПа
plt.plot(h, p_water, label="вода, ρ = 1000 кг/м³")
plt.plot(h, p_oil, label="масло, ρ = 920 кг/м³")
plt.xlabel("Глубина h, м")
plt.ylabel("Давление p, кПа")
plt.title("Давление столба жидкости")
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()
print(f"вода, 10 м: {1000 * G * 10 / 1000:.1f} кПа")
print(f"масло, 10 м: {920 * G * 10 / 1000:.1f} кПа")
вода, 10 м: 98.0 кПа
масло, 10 м: 90.2 кПаНа экране — две прямые из начала координат, водяная круче.
Новых команд здесь две, и обе про читаемость. label="вода, ρ = 1000 кг/м³" внутри plt.plot даёт линии имя, но само по себе на рисунке ничего не печатает. Печатает его plt.legend(): эта команда собирает все имена, заданные через label, и выкладывает их на график табличкой — какая линия чья. Без legend подписи остаются невидимыми, а две линии — безымянными; без xlabel и ylabel непонятно, что по осям, и график не читается вовсе.
Обратите внимание на деление на 1000 в двух строках: формула даёт паскали, а на оси мы хотим килопаскали. Переводить надо один раз и в явном месте — иначе потом ищешь, откуда взялась тысяча.
Верить ли картинке¶
Компьютер нарисует красивую прямую по любой формуле, в том числе по неправильной. Поэтому последний шаг любой модели — сверка с тем, что известно независимо.
У нас такое известное число есть: 10 метров воды дают примерно 100 кПа. Мы получили 98,0 кПа. Расхождение — два процента, и оно объяснимо: «примерно 100» — это прикидка с \(g \approx 10\) Н/кг, а считали мы с 9,8. Модель проходит проверку.
Вторая сверка — на масле: 90,2 кПа против 98,0 у воды. Отношение \(90{,}2 / 98{,}0 = 0{,}92\) — ровно отношение плотностей \(920/1000\). График воспроизводит то, что мы вывели руками, а не что-то своё.
Такие сверки стоит делать всегда, и всегда — на числе, которое известно до запуска программы. Если бы вместо 98 кПа вышло 9,8 кПа, ошибка была бы не в физике, а в единицах: где-то потерялась тысяча.
М3 §2.6. Физика: выигрыш в силе¶
Вернёмся к закону Паскаля и извлечём из него машину.
Возьмём два цилиндра, соединённых трубкой и заполненных жидкостью. В узком ходит поршень площадью \(S_1\), в широком — площадью \(S_2\). Нажмём на узкий поршень силой \(F_1\).
Он создаёт в жидкости давление
По закону Паскаля это давление доходит до широкого поршня без изменения. Значит, снизу на широкий поршень жидкость действует с силой
Ту же связь удобно писать в виде пропорции — «давление под обоими поршнями одно и то же»:
Такое устройство называется гидравлической машиной, а если оно предназначено что-нибудь сдавливать — гидравлическим прессом. На нём работают автомобильный домкрат, тормоза машины, ковш экскаватора, пресс для отжима масла.
Пример. Узкий поршень — диаметр 2 см, широкий — 20 см. На узкий давят силой 150 Н.
Площади круглых поршней: \(S = \pi d^2/4\). Диаметр вырос в 10 раз — площадь выросла в \(10^2 = 100\) раз, считать сами площади даже не обязательно:
Оценим оба числа привычно: 150 Н — это вес гири массой 15 кг, а 15 кН — вес груза массой около полутора тонн, то есть легкового автомобиля. Домкрат работает именно так.
Если площади всё-таки нужны, не забудьте перевести сантиметры: \(S_1 = \pi \cdot (0{,}02)^2/4 \approx 3{,}14 \cdot 10^{-4}\) м², \(S_2 \approx 3{,}14 \cdot 10^{-2}\) м². Подставлять в формулы квадратные сантиметры вместе с ньютонами нельзя — получится давление в непонятных единицах.
Ошибка: «сила выросла в сто раз из ничег
Соблазн понятен: нажали на 150 Н, получили 15 000 Н. Как будто машина создала силу из воздуха.
Посмотрите на жидкость. Она несжимаема: сколько её ушло из-под узкого поршня, столько же пришло под широкий. Узкий поршень опустился на \(h_1\) и вытеснил объём \(S_1 h_1\). Широкий поднялся на \(h_2\) и принял объём \(S_2 h_2\). Объёмы равны:
В нашем примере, чтобы широкий поршень поднялся на 1 см, узкий обязан пройти 100 см — целый метр. Во сколько раз выигрыш в силе, во столько же раз проигрыш в пути. Поэтому домкратом качают долго и много раз: за один ход рукоятки машина поднимается на считанные миллиметры.
Позже в курсе появится величина, которая измеряет «силу, помноженную на путь», — работа. Тогда это правило получит короткую и точную формулировку. Пока запомните само наблюдение: гидравлическая машина не даёт ничего даром, она обменивает путь на силу.
М3 §2.7. Задачи¶
Везде, где не сказано иначе, \(g = 9{,}8\) Н/кг; там, где просят прикинуть в уме, берите \(g \approx 10\) Н/кг. Плотности — из таблицы в §2.1.
Уровень 1: по формуле¶
1.1. Аквариум наполнен водой до высоты 40 см. Найдите давление воды на дно. Изменится ли ответ, если тот же аквариум заменить на вдвое более широкий, налив воду до той же высоты?
1.2. Во сколько раз давление воды на глубине 6 м больше, чем на глубине 2 м, если сверху на воду ничего не давит? Изменится ли этот ответ, если налить не воду, а керосин?
1.3. На графике \(p(h)\) для некоторой жидкости прямая выходит из начала координат и проходит через точку (4 м; 32 кПа). Найдите угловой коэффициент с единицами, определите плотность жидкости (считайте \(g \approx 10\) Н/кг) и назовите жидкость по таблице.
Подсказка к 1.1: в формуле \(p = \rho g h\) ширины нет. Подсказка к 1.3: \(k\) — это «сколько кПа на метр», а \(\rho = k/g\); следите за переводом кПа в Па.
Уровень 2: расчёт и построение¶
2.1. Цистерна заполнена керосином (\(\rho = 800\) кг/м³) до уровня 1,7 м. В боковой стенке на высоте 20 см от дна установлен люк площадью 0,05 м². Найдите давление керосина на уровне люка и силу давления на люк.
2.2. Постройте на одних осях графики \(p(h)\) при \(h\) от 0 до 5 м для двух случаев (возьмите \(g = 10\) Н/кг, давление — в кПа):
- открытый сосуд с водой, \(\rho_1 = 1000\) кг/м³, \(p_0 = 0\);
- сосуд с керосином, \(\rho_2 = 800\) кг/м³, сверху поршень создаёт \(p_0 = 8\) кПа.
Подпишите оси с единицами. По графику определите глубину, на которой давления сравняются, и проверьте ответ вычислением. Затем ответьте: на меньших глубинах — то есть ближе к поверхности — давление больше у воды или у керосина под поршнем?
Подсказка к 2.1: глубина люка отсчитывается от поверхности, а не от дна; сила — из \(p = F/S\). Подсказка к 2.2: каждая прямая строится по двум точкам; вторую прямую начинайте не с нуля.
Уровень 3: рассуждение и перенос¶
3.1. Докажите, что разность давлений на глубинах \(h_2\) и \(h_1\) в одной и той же жидкости не зависит от внешнего давления \(p_0\). Объясните, что это означает для графика \(p(h)\): как изменится прямая, если увеличить \(p_0\) вдвое, и что при этом произойдёт с её наклоном.
3.2. В высоком сосуде налиты слоями две несмешивающиеся жидкости: сверху слой толщиной \(h_1\) с плотностью \(\rho_1\), под ним слой толщиной \(h_2\) с плотностью \(\rho_2 > \rho_1\). Запишите давление \(p(h)\) отдельно для \(h \le h_1\) и для \(h_1 < h \le h_1 + h_2\). Постройте эскиз графика. Объясните: почему в точке \(h = h_1\) график имеет излом, но не разрыв? Что физически означал бы разрыв?
3.3. Гидравлический тормоз устроен как пресс: поршень в рукоятке имеет диаметр 3 см, поршень у колодки — 12 см, между ними трубка с жидкостью. На рукоятку нажимают с силой 200 Н. С какой силой жидкость прижимает колодку? На какой путь придётся сдвинуть поршень рукоятки, чтобы колодка прошла 2 мм? Сравните два числа: выигрыш в силе и проигрыш в пути.
Подсказка к 3.1: выпишите \(p(h_2)\) и \(p(h_1)\) полностью и вычтите. Подсказка к 3.2: значение на границе посчитайте двумя способами — по верхней формуле и по нижней; сравните. Подсказка к 3.3: отношение площадей круглых поршней равно квадрату отношения диаметров.
Код¶
4.1. Что напечатает программа? Не запуская, напишите вывод построчно.
G = 9.8
def pressure_at_depth(h, rho, p0=0.0):
if h < 0:
print("Глубина не может быть отрицательной")
return None
if rho <= 0:
print("Плотность должна быть положительной")
return None
return p0 + rho * G * h
print(pressure_at_depth(-3, 1000))
print(pressure_at_depth(3, 1000, 101000))
4.2. Напишите функцию pressure_at_depth_cm(h_cm, rho, p0=0.0), которая принимает глубину в сантиметрах, а возвращает давление в паскалях. Проверку входных данных сохраните. Убедитесь, что pressure_at_depth_cm(1000, 1000) даёт то же, что pressure_at_depth(10, 1000) из §2.5.
4.3. Постройте на одних осях графики \(p(h)\) для воды (\(\rho = 1000\)) и ртути (\(\rho = 13\,600\)) при \(h\) от 0 до 10 м. Запустите и посмотрите на результат: водяная прямая прижимается к горизонтальной оси так, что её наклон почти невозможно оценить на глаз. Объясните, почему так вышло (сравните угловые коэффициенты), и предложите два способа сделать сравнение читаемым — не меняя физики. Подумайте про диапазон глубин для ртути и про то, обязаны ли обе линии жить на одних осях.
М3 §2.8. Итог¶
Физика.
- Плотность \(\rho = m/V\) — сколько килограммов вещества в кубическом метре; \(1\) г/см³ \(= 1000\) кг/м³.
- Закон Паскаля: давление, произведённое на жидкость или газ, передаётся без изменения в каждую точку и действует одинаково по всем направлениям. Жидкость давит и вниз, и вбок, и вверх.
- Давление столба жидкости: \(p = \rho g h\). Ни площадь дна, ни форма сосуда, ни общее количество налитого в формулу не входят — только плотность и глубина.
- Полное давление на глубине: \(p = p_0 + \rho g h\), где \(p_0\) — внешнее давление на поверхности.
- Давление и сила — разные вопросы: \(p = \rho g h\) зависит только от уровня, а \(F = pS\) — ещё и от площади.
- Глубже — быстрее струя: скорость вылета задаётся давлением на уровне отверстия; дальность полёта зависит ещё и от высоты падения.
- Гидравлическая машина: \(F_1/S_1 = F_2/S_2\), откуда \(F_2 = F_1 \cdot S_2/S_1\). Выигрыш в силе равен проигрышу в пути: \(S_1 h_1 = S_2 h_2\).
Математика.
- \(p(h) = \rho g \cdot h + p_0\) — линейная функция \(y = kx + b\), та же, что описывала равномерное движение в М1 §3.
- Угловой коэффициент — величина с единицами: \(k = \rho g\), [Па/м], смысл — «на сколько паскалей прибавляет каждый метр глубины». Обратный ход: \(\rho = k/g\).
- Свободный член \(b = p_0\) — точка пересечения графика с осью ординат, значение при \(h = 0\).
- Прямая строится по двум точкам; третья — для самопроверки.
- Прямая пропорциональность — частный случай линейной функции, только при \(b = 0\). Прибавка \(p_0\) сдвигает прямую параллельно вверх и не меняет наклона.
Информатика.
- Функция с параметром по умолчанию:
def pressure_at_depth(h, rho, p0=0.0)— открытый сосуд считается тем же кодом, что и сосуд под поршнем. - Проверка входных данных: отрицательная глубина и неположительная плотность отсекаются с пояснением, функция возвращает
None. numpy.linspace(0, 10, 51)— равномерная сетка значений одной строкой.plt.plotрисует линию по двум наборам чисел;label=даёт линии имя, аplt.legend()выводит эти имена на график. Вместе сxlabel,ylabel,gridэто и делает график читаемым: оси без единиц и линии без легенды — график ни о чём.- Сверка модели: считать надо число, известное заранее. 10 м воды ≈ 100 кПа — программа даёт 98,0 кПа, расхождение объясняется выбором \(g\).
Ответ к задаче 4.1. Программа печатает три строки:
Первая — сообщение из функции, вторая — то, что функция вернула вместо числа и что вывел внешний print, третья — результат \(101\,000 + 1000 \cdot 9{,}8 \cdot 3\). Обратите внимание: print(None) печатает слово None, и в отладке это самый частый сигнал «функция отказалась считать».
Мост к М3 §3¶
Одна величина в этой главе осталась с честным, но неполным объяснением — внешнее давление \(p_0\). Мы сказали, что оно передаётся по закону Паскаля целиком, и научились прибавлять его к \(\rho g h\). Мы не сказали, откуда оно берётся, если никакого поршня сверху нет, а сосуд просто открыт и стоит на столе. Между тем оно там есть, и по величине это примерно те же 100 кПа, что даёт десятиметровый столб воды.
И второй вопрос, который мы обошли. Формула \(p = \rho g h\) ничего не знает о форме сосуда — а значит, соединив два сосуда трубкой и налив в них одну жидкость, мы получим что-то очень определённое про уровни. Что именно? Ответ несложно угадать по формуле; сложнее увидеть, сколько устройств на нём построено — от водопроводной башни и шлюза до обычного сифона под раковиной. И что изменится, если жидкости в коленах разные?
Оба вопроса — про то же самое давление и ту же самую формулу, но с новой стороны. Аппарат у нас уже есть: прямая \(p(h)\), наклон \(\rho g\) и умение сравнивать два столба. Дальше — ближайшие параграфы модуля.