§4. Графический язык¶

Вопросы к §4¶

Запишите ответы — не подглядывая в текст.

На графике пути от времени прямая сначала идёт вверх, потом становится горизонтальной. Что это значит: тело исчезло, остановилось или стало двигаться по-другому?
Два графика движения — две прямые. Одна крутая, другая пологая. Какое тело движется быстрее?
Можно ли по графику понять, когда тело стояло, когда двигалось и какой путь прошло, если формулы вообще нет?

К концу параграфа все три ответа станут понятными. А пока заметим главное: график — это не украшение после вычислений. Это язык, на котором зависимость становится видимой.

§4.1. Физика: график как история движения¶

В §3 мы описывали равномерное движение формулами:

\[ v = \frac{s}{t}, \]

\[ s = vt, \]

\[ x(t) = x_0 + vt. \]

Формула точна, но не всегда удобна для первого взгляда. Иногда проще посмотреть на график и сразу увидеть, что происходило.

График движения — это история движения, записанная не словами, а линией.

Что откладывают на осях¶

Для графика пути от времени обычно выбирают:

по горизонтальной оси — время \(t\);
по вертикальной оси — путь \(s\).

Например:

\[ t \text{, с} \]

по горизонтали и

\[ s \text{, м} \]

по вертикали.

Если мы строим график координаты от времени, то по вертикали откладываем координату:

\[ x \text{, м}. \]

Важно: оси должны быть подписаны. График без подписей похож на карту без названий и масштаба.

Типичная ошибка

Нарисовать график без единиц измерения.

Непонятно, что отложено по оси: секунды или минуты, метры или километры. Такой график нельзя надёжно читать.

Равномерное движение на графике¶

Если тело движется равномерно, его путь растёт одинаково за равные промежутки времени.

Например, скорость равна \(2\) м/с.

\(t\), с	\(s\), м
0	0
1	2
2	4
3	6
4	8

Каждую секунду путь увеличивается на \(2\) м.

Если построить точки, получится прямая.

Ключевая идея

Равномерное движение на графике \(s(t)\) изображается прямой линией.

Чем больше скорость, тем круче прямая.

Покой на графике¶

Если тело стоит, путь или координата не меняется.

Например:

\(t\), с	\(x\), м
0	5
1	5
2	5
3	5

График координаты \(x(t)\) — горизонтальная линия.

Это не значит, что время остановилось. Это значит, что положение не меняется.

Ключевая идея

Горизонтальный участок графика координаты от времени означает покой.

Время идёт, а координата остаётся прежней.

Быстрее или медленнее¶

Если на одном графике изображены два движения, скорость можно сравнить по наклону.

Крутая прямая — большая скорость.
Пологая прямая — меньшая скорость.
Горизонтальная прямая — скорость равна нулю.

Например:

\[ s_1 = 2t, \]

\[ s_2 = 5t. \]

Второе тело движется быстрее, потому что за каждую секунду проходит \(5\) м, а первое — только \(2\) м.

§4.2. Математика: график функции¶

График нужен не только физике. В математике он показывает зависимость одной величины от другой.

Определение. Функция

Функция — это правило, которое каждому допустимому значению аргумента ставит в соответствие ровно одно значение.

Записывают:

\[ y = f(x). \]

Здесь:

\(x\) — аргумент, или вход;
\(y\) — значение функции, или выход;
\(f\) — правило.

В движении часто роль аргумента играет время \(t\), а роль значения — путь \(s\) или координата \(x\).

Например:

\[ s(t) = 3t. \]

Это означает: каждому значению времени \(t\) соответствует путь \(s\).

График функции¶

Определение. График функции

График функции — это множество точек

\[ (x; f(x)) \]

на координатной плоскости.

Если функция задана формулой, можно составить таблицу значений и построить точки.

Пример:

\[ y = 2x + 1. \]

\(x\)	\(y = 2x + 1\)
-1	-1
0	1
1	3
2	5

Эти точки лежат на прямой.

Линейная функция¶

В §3 мы уже встретили зависимость:

\[ s = vt. \]

Это частный случай линейной функции.

Общий вид линейной функции:

\[ y = kx + b. \]

Число \(k\) показывает наклон прямой.

Число \(b\) показывает значение функции при \(x = 0\).

В физике:

\[ x(t) = x_0 + vt. \]

Здесь:

\(v\) — скорость, она отвечает за наклон;
\(x_0\) — начальная координата, она отвечает за начальное положение графика.

Что можно прочитать по графику¶

По графику можно узнать:

значение величины в выбранный момент;
когда величина была равна нулю;
где величина возрастала;
где величина убывала;
где она не менялась;
где изменение было быстрым или медленным.

На графике движения это означает:

где тело находилось;
когда оно двигалось;
когда стояло;
когда двигалось быстрее;
какой путь прошло.

Ключевая идея

График — это способ читать зависимость глазами.

Формула говорит точно. График часто говорит быстрее.

§4.3. Как читать график движения¶

Разберём типичный график координаты от времени.

Пусть тело движется так:

Время, с	Координата, м
0	0
1	2
2	4
3	4
4	4
5	1

Что здесь происходит?

Участок от 0 до 2 секунд¶

Координата растёт:

\[ 0 \to 2 \to 4. \]

Тело движется в положительном направлении.

За \(2\) секунды координата увеличилась на \(4\) м. Скорость на этом участке:

\[ v = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2 \text{ м/с}. \]

Участок от 2 до 4 секунд¶

Координата не меняется:

\[ 4 \to 4 \to 4. \]

Тело покоится.

Скорость равна нулю.

Участок от 4 до 5 секунд¶

Координата уменьшается:

\[ 4 \to 1. \]

Тело движется в обратном направлении.

Скорость:

\[ v = \frac{1 - 4}{5 - 4} = -3 \text{ м/с}. \]

Знак минус показывает направление движения, а модуль скорости равен \(3\) м/с.

Путь и перемещение по графику¶

Начальная координата:

\[ x_0 = 0 \text{ м}. \]

Конечная координата:

\[ x_5 = 1 \text{ м}. \]

Перемещение:

\[ \Delta x = 1 - 0 = 1 \text{ м}. \]

Путь:

от \(0\) до \(4\) м: \(4\) м;
стоянка: \(0\) м;
от \(4\) до \(1\) м: \(3\) м.

Итого:

\[ s = 4 + 0 + 3 = 7 \text{ м}. \]

Ключевая идея

По графику координаты можно найти и перемещение, и путь, но это разные величины.

Перемещение зависит только от начальной и конечной координаты.

Путь учитывает всё движение, включая возвращение назад.

§4.4. Информатика: строим графики в Python¶

Компьютер умеет быстро превращать таблицу чисел в график.

Для этого используем библиотеку matplotlib.

Код: график по таблице¶

Что демонстрирует: построение графика координаты от времени по данным наблюдения.

import matplotlib.pyplot as plt

# Данные наблюдения
time = [0, 1, 2, 3, 4, 5]
x = [0, 2, 4, 4, 4, 1]

plt.plot(time, x, marker='o')
plt.xlabel('Время, с')
plt.ylabel('Координата, м')
plt.title('График координаты от времени')
plt.grid(True)
plt.show()

После запуска появится график с тремя характерными участками:

движение вперёд;
покой;
движение назад.

Код: графики разных скоростей¶

Что демонстрирует: связь скорости и наклона прямой.

import matplotlib.pyplot as plt

 times = [0, 1, 2, 3, 4, 5]

speeds = [2, 4, 6]

for v in speeds:
    distances = []
    for t in times:
        distances.append(v * t)
    plt.plot(times, distances, marker='o', label=f'v = {v} м/с')

plt.xlabel('Время, с')
plt.ylabel('Путь, м')
plt.title('Равномерное движение при разных скоростях')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

На графике будут три прямые.

Чем больше скорость, тем круче прямая.

Внимание к коду¶

В Python отступы имеют значение. В примере выше строка

times = [0, 1, 2, 3, 4, 5]

не должна начинаться с лишнего пробела. Правильный код:

import matplotlib.pyplot as plt

times = [0, 1, 2, 3, 4, 5]

speeds = [2, 4, 6]

for v in speeds:
    distances = []
    for t in times:
        distances.append(v * t)
    plt.plot(times, distances, marker='o', label=f'v = {v} м/с')

plt.xlabel('Время, с')
plt.ylabel('Путь, м')
plt.title('Равномерное движение при разных скоростях')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

Если в начале строки стоит лишний пробел там, где Python его не ждёт, может появиться ошибка IndentationError.

Код: вычисляем скорости по графику¶

Если координаты известны в разные моменты времени, можно найти скорость на каждом участке.

time = [0, 1, 2, 3, 4, 5]
x = [0, 2, 4, 4, 4, 1]

for i in range(len(time) - 1):
    dt = time[i + 1] - time[i]
    dx = x[i + 1] - x[i]
    v = dx / dt
    print(f'От {time[i]} до {time[i+1]} с: v = {v} м/с')

Результат:

От 0 до 1 с: v = 2.0 м/с
От 1 до 2 с: v = 2.0 м/с
От 2 до 3 с: v = 0.0 м/с
От 3 до 4 с: v = 0.0 м/с
От 4 до 5 с: v = -3.0 м/с

Это и есть чтение графика через вычисления.

Ключевая идея

График можно читать глазами, а можно анализировать программой.

В обоих случаях мы ищем одно и то же: как меняется величина.

§4.5. Три мира графика¶

В мире физики¶

График движения показывает, как меняется положение или путь тела со временем.

Физик спрашивает:

когда тело двигалось?
когда оно стояло?
где скорость была больше?
куда двигалось тело?
чему равен путь и перемещение?

График — это способ увидеть движение сразу.

В мире математики¶

График — это изображение функции.

Если есть зависимость

\[ y = f(x), \]

то график состоит из точек

\[ (x; f(x)). \]

Линейная функция даёт прямую. Наклон прямой показывает скорость изменения.

В мире компьютера¶

Компьютер получает списки чисел:

time = [0, 1, 2, 3, 4, 5]
x = [0, 2, 4, 4, 4, 1]

и строит график командой:

plt.plot(time, x)

Для компьютера это просто массивы чисел. Для нас — история движения.

Сравнение трёх миров¶

Вопрос	Физика	Математика	Информатика
Что происходит?	движение тела	изменение функции	изменение данных
Что такое точка графика?	положение в момент времени	пара \((x; y)\)	два элемента списков
Что означает наклон?	скорость	скорость изменения	разность значений / разность времени
Что означает горизонтальный участок?	покой	функция постоянна	значения не меняются

Ключевая идея

Физик видит движение.

Математик видит функцию.

Программист видит данные и алгоритм построения.

Но линия на графике одна и та же.

§4.6. Задачи¶

Базовые¶

На графике координаты от времени линия горизонтальна. Что это означает?
На одном графике изображены две прямые: первая круче второй. Какое тело движется быстрее?
Почему на графике обязательно нужно подписывать оси и единицы измерения?
Дана таблица:

\(t\), с	0	1	2	3
\(s\), м	0	3	6	9

Постройте график. Какова скорость тела?

Дана таблица:

\(t\), с	0	1	2	3	4
\(x\), м	2	2	2	2	2

Что делает тело?

Аналитические¶

Дана таблица координаты:

\(t\), с	0	1	2	3	4
\(x\), м	0	2	4	4	1

Опишите движение по участкам.

По таблице из задачи 6 найдите:
перемещение;
путь;
скорость на каждом участке.
График пути от времени — прямая, проходящая через точки \((0;0)\) и \((4;20)\). Найдите скорость.
График координаты от времени проходит через точки \((0;10)\) и \((5;0)\). Найдите скорость и объясните знак ответа.
Можно ли по графику пути от времени понять направление движения? А по графику координаты от времени? Объясните.

Программирование¶

Напишите программу, которая строит график по таблице:

time = [0, 1, 2, 3, 4]
distance = [0, 5, 10, 15, 20]

Измените программу так, чтобы были подписаны оси и заголовок графика.
Напишите программу, которая по спискам time и x вычисляет скорость на каждом участке.
Постройте на одном графике три зависимости:

\[ s_1 = 2t, \]

\[ s_2 = 4t, \]

\[ s_3 = 6t. \]

Сделайте легенду.

Исследовательские¶

Измерьте путь игрушечной машинки через каждую секунду. Постройте график. Движение похоже на равномерное?
Придумайте график движения, где тело сначала движется вперёд, потом стоит, потом возвращается назад. Составьте таблицу значений для такого графика.
Найдите в интернете или учебнике график температуры за день. Опишите его как историю: когда температура росла, когда падала, когда была максимальной.

§4.7. Задачи, приближённые к ОГЭ и ЕГЭ¶

Задача 1. Физика, ОГЭ: скорость по графику¶

График пути от времени — прямая, проходящая через точки \((0;0)\) и \((5;25)\), где время измеряется в секундах, а путь — в метрах. Найдите скорость тела.

Решение.

Скорость равна отношению пути ко времени:

\[ v = \frac{s}{t} = \frac{25}{5} = 5 \text{ м/с}. \]

Ответ:

\[ 5 \text{ м/с}. \]

Задача 2. Физика, ОГЭ: участок покоя¶

По графику координаты видно, что от \(t=3\) с до \(t=7\) с координата тела не менялась и была равна \(12\) м. Что делало тело на этом участке?

Решение.

Если координата не меняется, тело находится в одной и той же точке.

Значит, тело покоилось.

Ответ: тело покоилось от \(3\) с до \(7\) с.

Задача 3. Математика: линейная функция по двум точкам¶

Прямая проходит через точки \((0;2)\) и \((3;8)\). Найдите её угловой коэффициент.

Решение.

Угловой коэффициент равен:

\[ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. \]

Подставим:

\[ k = \frac{8 - 2}{3 - 0} = \frac{6}{3} = 2. \]

Ответ:

\[ k = 2. \]

Задача 4. Информатика: чтение данных¶

Что выведет программа?

time = [0, 1, 2, 3]
x = [0, 4, 8, 12]

for i in range(len(time) - 1):
    dt = time[i + 1] - time[i]
    dx = x[i + 1] - x[i]
    v = dx / dt
    print(v)

Решение.

На каждом участке координата увеличивается на \(4\) м за \(1\) с.

Значит, скорость на каждом участке:

\[ v = 4 \text{ м/с}. \]

Ответ:

4.0
4.0
4.0

§4.8. Итог¶

Главный вывод¶

График — это язык зависимости.

В физике график помогает читать движение.

В математике график показывает функцию.

В информатике график строится по данным и помогает увидеть закономерность.

Что нужно запомнить¶

На графике движения по горизонтальной оси обычно откладывают время.
По вертикальной оси откладывают путь или координату.
Оси обязательно нужно подписывать с единицами измерения.
Равномерное движение на графике \(s(t)\) изображается прямой.
Чем больше наклон графика, тем больше скорость.
Горизонтальный участок графика координаты означает покой.
По графику можно определить путь, перемещение и скорость на участках.
В Python графики удобно строить с помощью matplotlib.

Ответы на три вопроса из начала¶

Если график пути или координаты сначала идёт вверх, а потом становится горизонтальным, это означает: сначала тело двигалось, затем величина перестала меняться. Для координаты это означает остановку.
Быстрее движется тело, у которого график круче. Наклон связан со скоростью.
Да, по графику можно понять, когда тело двигалось, когда стояло и как менялась величина, даже если формулы нет. Для этого нужно читать оси, масштаб и форму линии.

Мост к §5¶

Мы научились читать движение по графику. Но реальное движение часто бывает неравномерным: скорость меняется, график становится не одной простой прямой, а набором участков или кривой.

Тогда возникает новый вопрос: как описать такое движение одним числом?

Для этого используют среднее значение и среднюю скорость.

Этим мы займёмся в следующем параграфе:

§5. Среднее значение.