§2. Координаты и векторы¶

Вопросы к §2¶

Запишите ответы — не подглядывая в текст.

Вы прошли \(3\) км на восток и \(4\) км на север. На каком расстоянии по прямой вы оказались от начальной точки: \(7\) км или \(5\) км?
Фраза «тело находится в точке 5» понятна сама по себе? Или нужно уточнить: 5 чего, откуда и в какую сторону?
Точка \((3;4)\) и вектор \((3;4)\) записываются почти одинаково. Это одно и то же или разные объекты?

К концу параграфа все три вопроса станут понятными. А пока заметим главное: чтобы описывать движение, недостаточно просто измерять числа. Нужно уметь говорить, где находится тело и куда оно переместилось.

§2.1. Физика: где находится тело?¶

Первый вопрос механики звучит очень просто:

Где находится тело?

Но чтобы ответить строго, физика вводит модель.

Определение. Материальная точка

Материальная точка — это тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.

Автомобиль на карте города можно считать точкой: его длина в несколько метров мала по сравнению с расстояниями в километрах. Но тот же автомобиль при парковке уже нельзя считать точкой: его размеры важны.

Мяч в задаче о полёте часто можно считать материальной точкой. А если мы изучаем, как мяч вращается, то его размер и форма уже имеют значение.

Ключевая идея

Материальная точка — не «маленькое тело», а удобная модель.

Тело можно считать материальной точкой, если его размеры не важны для ответа на вопрос задачи.

Система отсчёта¶

Фраза «автобусная остановка находится в 200 м» неполна. От чего 200 м? В какую сторону? По какой дороге?

Чтобы описать положение тела, нужна система отсчёта.

Определение. Система отсчёта

Система отсчёта включает:

тело отсчёта;
начало координат;
направление осей;
единицу длины;
часы, если мы описываем движение во времени.

Например:

Автобусная остановка находится в \(200\) м к востоку от школы.

Здесь уже есть система отсчёта:

тело отсчёта — школа;
начало отсчёта — точка, где находится школа;
направление — восток;
единица длины — метр.

Без системы отсчёта фраза «тело находится в точке 5» бессмысленна. Пять чего? Откуда? В какую сторону?

Траектория¶

Когда тело движется, оно оставляет в пространстве воображаемый след.

Определение. Траектория

Траектория — это линия, которую описывает материальная точка при движении.

Если траектория — прямая линия, движение называют прямолинейным.

Если траектория кривая, движение называют криволинейным.

Важно не путать траекторию и скорость. Два тела могут пройти по одной и той же траектории, но одно сделает это за секунду, другое — за час. След одинаковый, движение разное.

Путь и перемещение¶

Путь — это длина траектории.

Перемещение — это направленный отрезок из начального положения в конечное.

Представьте, что вы прошли \(3\) км на восток, а потом \(4\) км на север.

Ваш путь:

\[ s = 3 + 4 = 7 \text{ км}. \]

Но от начальной точки вы оказались не в \(7\) км по прямой. Конечная точка находится по диагонали.

Если изобразить перемещение на плоскости, получится прямоугольный треугольник с катетами \(3\) и \(4\).

Расстояние по прямой:

\[ d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ км}. \]

Ключевая идея

Путь отвечает на вопрос: сколько всего прошли?

Перемещение отвечает на вопрос: куда и на сколько сместились от начальной точки?

§2.2. Математика: координаты и расстояние¶

Физика требует описывать положение числами. Математика даёт для этого координаты.

Координатная прямая¶

Если тело движется вдоль одной прямой — например, поезд по рельсам или человек вдоль коридора, — положение можно описать одним числом.

Определение. Координатная прямая

Координатная прямая — это прямая, на которой выбраны:

начало отсчёта \(O\);
положительное направление;
единичный отрезок.

Каждой точке на координатной прямой соответствует одно число, и каждому числу соответствует одна точка.

Положительные числа лежат в положительном направлении, отрицательные — в противоположном.

Например, если начало отсчёта — школа, а положительное направление — восток, то координата \(+200\) м означает: точка находится на \(200\) м к востоку от школы.

Координата \(-150\) м означает: точка находится на \(150\) м в противоположную сторону.

Модуль числа и расстояние на прямой¶

Определение. Модуль числа

Модуль числа \(a\) — это расстояние от точки \(a\) до нуля на координатной прямой.

Обозначение:

\[ |a|. \]

Примеры:

\[ |5| = 5, \]

\[ |-3| = 3, \]

\[ |0| = 0. \]

Модуль всегда неотрицателен. Он показывает величину без направления.

Расстояние между точками с координатами \(a\) и \(b\) на прямой равно:

\[ |a - b|. \]

Например, расстояние между точками \(-3\) и \(5\):

\[ |5 - (-3)| = |8| = 8. \]

Типичная ошибка

Неверно считать расстояние между \(-3\) и \(5\) так:

\[ 5 - 3 = 2. \]

Ошибка в том, что знак минус у координаты \(-3\) потерялся. Знак — это часть положения точки.

Координатная плоскость¶

Одного числа хватает для движения по прямой. Но если тело движется по плоскости — машина в городе, мяч на поле, точка на экране, — нужны два числа.

Определение. Координатная плоскость

Координатная плоскость состоит из двух перпендикулярных координатных прямых:

оси \(Ox\);
оси \(Oy\).

Они пересекаются в начале координат \(O\).

Обычно ось \(x\) направлена вправо, а ось \(y\) — вверх.

Точка задаётся парой координат:

\[ A(x;y). \]

Например, точка

\[ A(3;2) \]

находится на \(3\) единицы правее и на \(2\) единицы выше начала координат.

Расстояние на плоскости¶

Пусть есть две точки:

\[ A(x_1;y_1), \qquad B(x_2;y_2). \]

Горизонтальный сдвиг между ними:

\[ \Delta x = x_2 - x_1. \]

Вертикальный сдвиг:

\[ \Delta y = y_2 - y_1. \]

Эти два сдвига образуют катеты прямоугольного треугольника. Расстояние между точками — это гипотенуза.

По теореме Пифагора:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. \]

Пример.

Пусть

\[ A(0;0), \qquad B(3;4). \]

Тогда

\[ d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5. \]

Это та же ситуация: \(3\) км на восток и \(4\) км на север дают расстояние \(5\) км по прямой.

§2.3. Математика: вектор как число с направлением¶

Некоторые величины полностью задаются одним числом.

Например:

масса \(5\) кг;
температура \(20^\circ\text{C}\);
время \(10\) с;
расстояние \(7\) км.

У этих величин есть размер, но нет направления. Такие величины называются скалярами.

Определение. Скаляр

Скаляр — это величина, которая имеет численное значение, но не имеет направления.

Но есть величины, для которых одного числа недостаточно.

Например:

перемещение \(5\) км на север;
скорость \(10\) м/с вправо;
сила \(20\) Н вниз.

Здесь важно не только «сколько», но и «куда».

Определение. Вектор

Вектор — это величина, у которой есть модуль и направление.

Вектор можно изображать стрелкой. У стрелки есть:

начало;
конец;
направление;
длина.

Длина вектора называется модулем.

Вектор на плоскости¶

Если вектор идёт из точки

\[ A(x_1;y_1) \]

в точку

\[ B(x_2;y_2), \]

то его координаты равны:

\[ \overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\ y_2 - y_1). \]

Длина вектора:

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. \]

Пример.

Пусть

\[ A(1;2), \qquad B(4;6). \]

Тогда

\[ \overrightarrow{AB} = (4 - 1;\ 6 - 2) = (3;4). \]

Длина вектора:

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5. \]

Точка и вектор — не одно и то же¶

Точка

\[ A(3;4) \]

— это место на плоскости.

Вектор

\[ (3;4) \]

— это сдвиг: на \(3\) вправо и на \(4\) вверх.

Точку нельзя просто перенести в другое место: она и есть место.

А вектор можно перенести параллельно самому себе. Если длина и направление не изменились, это тот же вектор.

Ключевая идея

Точка отвечает на вопрос:

где?

Вектор отвечает на вопрос:

куда и на сколько?

Скаляры и векторы в физике¶

Скаляры	Векторы
масса	перемещение
температура	скорость
время	ускорение
энергия	сила
путь	импульс

Это различие станет особенно важным в Модуле 2, когда мы будем изучать силы. Сила — вектор: нужно знать не только сколько ньютонов, но и куда направлена сила.

§2.4. Информатика: координаты и векторы в Python¶

Компьютер не знает, что такое «точка» или «вектор» в физическом смысле. Для него это просто числа.

Точку на плоскости можно записать двумя переменными:

x = 3
y = 4

Или парой чисел:

point = (3, 4)

Вектор тоже можно записать парой чисел:

v = (3, 4)

Разница не в форме записи, а в смысле.

point = (3, 4) — это место.
v = (3, 4) — это сдвиг.

Код: расстояние между двумя точками¶

Что демонстрирует: формулу расстояния на плоскости.

import math

# Координаты двух точек
x1, y1 = 0, 0
x2, y2 = 3, 4

# Сдвиги по осям
dx = x2 - x1
dy = y2 - y1

# Расстояние по формуле Пифагора
d = math.sqrt(dx ** 2 + dy ** 2)

print("dx =", dx)
print("dy =", dy)
print("Расстояние =", d)

Результат:

dx = 3
dy = 4
Расстояние = 5.0

Python повторяет ту же логику, что и математика:

найти горизонтальный сдвиг;
найти вертикальный сдвиг;
применить теорему Пифагора.

Код: вектор перемещения¶

Что демонстрирует: вектор как разность координат конечной и начальной точки.

import math

# Начальная точка A
Ax, Ay = 1, 2

# Конечная точка B
Bx, By = 4, 6

# Вектор AB
dx = Bx - Ax
dy = By - Ay

# Длина вектора
length = math.sqrt(dx ** 2 + dy ** 2)

print("Вектор AB =", (dx, dy))
print("Длина AB =", length)

Результат:

Вектор AB = (3, 4)
Длина AB = 5.0

Мини-лаборатория: робот на плоскости¶

Пусть робот стартует из точки \((0;0)\) и выполняет команды:

\[ (3;0),\quad (0;4),\quad (-1;0),\quad (0;-2). \]

Каждая команда — это вектор перемещения.

import math

x, y = 0, 0
moves = [(3, 0), (0, 4), (-1, 0), (0, -2)]

trajectory = [(x, y)]
path = 0

for dx, dy in moves:
    x = x + dx
    y = y + dy
    step = math.sqrt(dx ** 2 + dy ** 2)
    path = path + step
    trajectory.append((x, y))

displacement = math.sqrt(x ** 2 + y ** 2)

print("Траектория:", trajectory)
print("Конечная точка:", (x, y))
print("Путь:", path)
print("Модуль перемещения:", displacement)

Что здесь происходит?

Координаты (x, y) хранят текущее положение робота.
Каждый вектор (dx, dy) задаёт очередной сдвиг.
Переменная path накапливает весь пройденный путь.
displacement показывает расстояние от старта до конечной точки.

Ключевая идея

В компьютере точка и вектор — это пары чисел.

Смысл появляется не в памяти компьютера, а в нашей модели.

Если мы правильно задали модель, программа может считать координаты, путь, перемещение и расстояние.

§2.5. Три мира координат и векторов¶

Вернёмся к важной идее курса: одно понятие можно увидеть в трёх мирах.

В мире физики¶

Координаты нужны, чтобы описать положение тела.

Физик спрашивает:

где находится тело?
относительно чего оно находится?
как оно двигалось?
каковы путь и перемещение?

Для ответа нужны материальная точка, система отсчёта, траектория, путь и перемещение.

В мире математики¶

Координаты превращают положение в числа.

Точка на прямой задаётся одним числом.

Точка на плоскости задаётся парой чисел:

\[ A(x;y). \]

Вектор задаётся парой сдвигов:

\[ (\Delta x;\Delta y). \]

Расстояние и длина вектора находятся по теореме Пифагора:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. \]

В мире компьютера¶

Координаты и векторы записываются переменными, кортежами или списками:

point = (3, 4)
vector = (3, 4)

Компьютер не понимает разницу сам. Для него это две пары чисел.

Разницу задаёт программист:

точка — положение;
вектор — сдвиг.

Сравнение трёх миров¶

Вопрос	Физика	Математика	Информатика
Где тело?	Положение в системе отсчёта	Точка \(A(x;y)\)	`point = (x, y)`
Куда сместилось?	Перемещение	Вектор \((\Delta x;\Delta y)\)	`move = (dx, dy)`
Сколько прошло?	Путь	Сумма длин участков	`path += step`
Как далеко от старта?	Модуль перемещения	Теорема Пифагора	`math.sqrt(dx2 + dy2)`

Ключевая идея

Координата превращает положение в число.

Вектор превращает перемещение в число с направлением.

Python превращает и то и другое в вычислимую модель.

§2.6. Задачи¶

Базовые¶

Можно ли считать самолёт материальной точкой:
при расчёте маршрута Москва — Новосибирск;
при посадке на взлётно-посадочную полосу?

Объясните ответ.

Что должно быть указано в системе отсчёта, чтобы фраза «тело находится в точке 7» стала осмысленной?
Найдите модули чисел:

\[ |-8|,\quad |4{,}5|,\quad |0|,\quad |-0{,}2|. \]

Найдите расстояние между точками на координатной прямой:
\(-4\) и \(6\);
\(2\) и \(9\);
\(-7\) и \(-1\).
Отметьте на координатной плоскости точки:

\[ A(2;3),\quad B(-1;4),\quad C(0;-2),\quad D(-3;-1). \]

Найдите расстояние между точками:

\[ A(0;0),\quad B(6;8). \]

Аналитические¶

Тело переместилось из точки

\[ A(1;2) \]

в точку

\[ B(4;6). \]

Найдите вектор \(\overrightarrow{AB}\) и его длину.

Человек прошёл \(5\) км на восток, затем \(12\) км на север. Найдите путь и модуль перемещения.
Робот стартует из точки \((0;0)\) и выполняет перемещения:

\[ (2;0),\quad (0;3),\quad (-2;0),\quad (0;-3). \]

Чему равен путь? Чему равен модуль перемещения?

Объясните разницу между точкой \((5;-2)\) и вектором \((5;-2)\).

Программирование¶

Напишите программу, которая получает координаты двух точек и выводит расстояние между ними.
Напишите программу, которая получает координаты точек \(A\) и \(B\) и выводит:
вектор \(\overrightarrow{AB}\);
длину этого вектора.
Измените программу про робота так, чтобы он выполнял команды:

moves = [(4, 0), (0, -3), (-4, 0), (0, 3)]

Что получится: путь или перемещение равны нулю? Объясните.

Исследовательские¶

Придумайте маршрут по школьному коридору или комнате в виде списка перемещений:

moves = [(...), (...), (...)]

Посчитайте путь и модуль перемещения вручную и в Python.

Напишите программу, которая по списку перемещений строит список всех точек траектории.

§2.7. Задачи, приближённые к ОГЭ и ЕГЭ¶

Задача 1. Математика: координатная прямая¶

Найдите расстояние между точками с координатами \(-7\) и \(5\).

Решение.

Расстояние на координатной прямой равно модулю разности координат:

\[ d = |5 - (-7)| = |12| = 12. \]

Ответ:

\[ 12. \]

Задача 2. Математика: расстояние на плоскости¶

Найдите расстояние между точками

\[ A(-2;1), \qquad B(4;9). \]

Решение.

\[ \Delta x = 4 - (-2) = 6, \]

\[ \Delta y = 9 - 1 = 8. \]

Тогда

\[ d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10. \]

Ответ:

\[ 10. \]

Задача 3. Физика: путь и перемещение¶

Турист прошёл \(6\) км на восток, затем \(8\) км на север. Найдите путь туриста и модуль перемещения.

Решение.

Путь:

\[ s = 6 + 8 = 14 \text{ км}. \]

Модуль перемещения:

\[ |\vec r| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 \text{ км}. \]

Ответ:

\[ s = 14 \text{ км}, \qquad |\vec r| = 10 \text{ км}. \]

Задача 4. Информатика: координаты в программе¶

Что выведет программа?

import math

x1, y1 = 2, 1
x2, y2 = 5, 5

dx = x2 - x1
dy = y2 - y1

d = math.sqrt(dx ** 2 + dy ** 2)

print(dx, dy)
print(d)

Решение.

Сначала программа найдёт сдвиги:

\[ dx = 5 - 2 = 3, \]

\[ dy = 5 - 1 = 4. \]

Затем расстояние:

\[ d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5. \]

Ответ:

3 4
5.0

§2.8. Итог¶

Главный вывод¶

Чтобы описывать движение, нужно уметь описывать положение и перемещение.

Положение задаётся координатами.

Перемещение задаётся вектором.

Путь и перемещение — разные величины:

путь — длина всей траектории;
перемещение — направленный отрезок от начальной точки к конечной.

Что нужно запомнить¶

Материальная точка — модель тела, размерами которого можно пренебречь.
Система отсчёта задаёт начало, направление, масштаб и время.
Траектория — линия движения тела.
Координатная прямая описывает положение одним числом.
Координатная плоскость описывает положение двумя числами.
Модуль числа — расстояние от нуля.
Вектор имеет модуль и направление.
Точка отвечает на вопрос «где?», а вектор — «куда и на сколько?»
Расстояние на плоскости находится по формуле:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. \]

Ответы на три вопроса из начала¶

Если пройти \(3\) км на восток и \(4\) км на север, путь равен \(7\) км, а расстояние по прямой от начальной точки — \(5\) км.
Фраза «тело находится в точке 5» неполна. Нужно указать систему отсчёта: откуда считаем, в какую сторону, в каких единицах.
Точка \((3;4)\) и вектор \((3;4)\) — разные объекты. Точка — это место на плоскости. Вектор — это сдвиг на \(3\) вправо и \(4\) вверх.

Мост к §3¶

Мы научились описывать положение тела с помощью координат и перемещение с помощью векторов.

Но пока мы почти не говорили о времени.

Если тело переместилось на \(100\) м, этого ещё недостаточно, чтобы понять движение. Важно знать, за сколько секунд оно это сделало.

Так появляется скорость — первая величина, связывающая пространство и время.

В следующем параграфе мы разберём:

§3. Ритм движения: скорость.