§3. Ритм движения: скорость¶

Вопросы к §3¶

Запишите ответы — не подглядывая в текст.

Два велосипедиста проехали по \(12\) км. Один потратил \(1\) час, другой — \(30\) минут. Проехали они одинаковый путь. А двигались ли они одинаково?
Автомобиль едет со скоростью \(60\) км/ч. Что это значит: он обязательно проедет ровно \(60\) км за каждый час? Или это только модель?
Если путь описывается формулой \(s = 4t\), то что означает число \(4\)? Почему график такой зависимости — прямая?

К концу параграфа все три ответа станут понятными. А пока заметим главное: движение нельзя описать только расстоянием. Нужно знать ещё и время. Так появляется скорость.

§3.1. Физика: скорость как ритм движения¶

В §2 мы научились описывать положение тела и перемещение. Но положение само по себе не говорит, насколько быстро происходило движение.

Представьте две ситуации.

Первый велосипедист проехал \(12\) км за \(1\) час.

Второй велосипедист проехал \(12\) км за \(30\) минут.

Путь одинаковый. Но движение разное: второй ехал быстрее.

Чтобы сравнивать такие движения, вводят скорость.

Определение. Скорость

Скорость показывает, какой путь проходит тело за единицу времени.

Если тело проходит путь \(s\) за время \(t\), то скорость равна

\[ v = \frac{s}{t}. \]

где:

\(v\) — скорость;
\(s\) — путь;
\(t\) — время.

Например, если автомобиль проехал \(120\) км за \(2\) часа, то

\[ v = \frac{120}{2} = 60 \text{ км/ч}. \]

Это означает: если движение равномерное, автомобиль проходит по \(60\) км за каждый час.

Единицы скорости¶

Скорость всегда соединяет единицу длины и единицу времени.

Примеры:

Скорость	Как читать	Где встречается
\(60\) км/ч	60 километров в час	транспорт
\(5\) м/с	5 метров в секунду	физические задачи
\(30\) см/с	30 сантиметров в секунду	лабораторные опыты

В СИ скорость измеряется в метрах в секунду:

\[ \text{м/с}. \]

Перевод из км/ч в м/с:

\[ 1 \text{ км/ч} = \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{1}{3{,}6} \text{ м/с}. \]

Поэтому

\[ 72 \text{ км/ч} = \frac{72}{3{,}6} = 20 \text{ м/с}. \]

Ключевая идея

Скорость — это не просто число. Это отношение пути ко времени.

Один и тот же путь можно пройти медленно или быстро. Разница появляется только тогда, когда мы учитываем время.

Равномерное движение¶

Самый простой случай — равномерное движение.

Определение. Равномерное движение

Движение называется равномерным, если тело за любые равные промежутки времени проходит равные пути.

Например, если автомобиль движется равномерно со скоростью \(60\) км/ч, то:

Время	Путь
\(1\) ч	\(60\) км
\(2\) ч	\(120\) км
\(3\) ч	\(180\) км
\(4\) ч	\(240\) км

Каждый час путь увеличивается на одну и ту же величину — \(60\) км.

Для равномерного движения выполняется формула:

\[ s = vt. \]

Если начальное положение не равно нулю, используют формулу координаты:

\[ x(t) = x_0 + vt. \]

где:

\(x(t)\) — координата тела в момент времени \(t\);
\(x_0\) — начальная координата;
\(v\) — скорость;
\(t\) — время.

Скорость как вектор и как скаляр¶

В этом параграфе мы часто говорим о скорости как о числе: \(60\) км/ч, \(5\) м/с, \(20\) м/с.

Но в физике скорость — векторная величина: у неё есть не только модуль, но и направление.

Например:

\[ 60 \text{ км/ч на восток} \]

и

\[ 60 \text{ км/ч на запад} \]

имеют одинаковый модуль скорости, но разные направления.

Пока мы рассматриваем простое движение по прямой и часто говорим только о модуле скорости. Но важно помнить: полная скорость отвечает на два вопроса:

как быстро?
в каком направлении?

§3.2. Математика: одна формула — три вопроса¶

Формула скорости:

\[ v = \frac{s}{t} \]

связывает три величины: путь, время и скорость.

Если известны путь и время, можно найти скорость:

\[ v = \frac{s}{t}. \]

Если известны скорость и время, можно найти путь:

\[ s = vt. \]

Если известны путь и скорость, можно найти время:

\[ t = \frac{s}{v}. \]

Ключевая идея

Одна физическая связь может отвечать на разные вопросы.

Алгебра нужна для того, чтобы повернуть формулу нужной стороной.

Пример 1. Найти скорость¶

Пешеход прошёл \(15\) км за \(3\) часа.

\[ v = \frac{s}{t} = \frac{15}{3} = 5 \text{ км/ч}. \]

Пример 2. Найти путь¶

Автомобиль ехал \(4\) часа со скоростью \(70\) км/ч.

\[ s = vt = 70 \cdot 4 = 280 \text{ км}. \]

Пример 3. Найти время¶

Поезд должен пройти \(360\) км со скоростью \(90\) км/ч.

\[ t = \frac{s}{v} = \frac{360}{90} = 4 \text{ ч}. \]

Прямая пропорциональность¶

Если скорость постоянна, путь прямо пропорционален времени:

\[ s = vt. \]

При \(v = 60\) км/ч получаем:

\[ s = 60t. \]

Если время увеличилось в \(2\) раза, путь тоже увеличился в \(2\) раза.

Если время увеличилось в \(3\) раза, путь увеличился в \(3\) раза.

Такую зависимость называют прямой пропорциональностью.

Определение. Прямая пропорциональность

Зависимость вида

\[ y = kx \]

называется прямой пропорциональностью.

Число \(k\) показывает, во сколько раз значение \(y\) больше значения \(x\), если \(x\) измеряется в подходящих единицах.

В движении:

\[ s = vt. \]

Здесь роль \(x\) играет время \(t\), роль \(y\) — путь \(s\), а коэффициент \(k\) — скорость \(v\).

Линейная функция¶

Если тело начинает движение не из нулевой точки, формула становится такой:

\[ x(t) = x_0 + vt. \]

Это линейная функция.

Общий вид линейной функции:

\[ y = kx + b. \]

В движении:

\[ x(t) = vt + x_0. \]

Сравним:

Математика	Физика
\(y = kx + b\)	\(x(t) = vt + x_0\)
\(x\) — аргумент	\(t\) — время
\(y\) — значение функции	\(x(t)\) — координата
\(k\) — угловой коэффициент	\(v\) — скорость
\(b\) — начальное значение	\(x_0\) — начальная координата

Ключевая идея

Скорость — это коэффициент при времени.

Если график координаты от времени — прямая, то скорость постоянна. Чем больше наклон прямой, тем больше скорость.

§3.3. График равномерного движения¶

Построим таблицу для автомобиля, который едет равномерно со скоростью \(60\) км/ч.

Формула:

\[ s = 60t. \]

\(t\), ч	\(s\), км
0	0
1	60
2	120
3	180
4	240
5	300

Если отметить эти точки на координатной плоскости, они лягут на прямую.

Почему?

Потому что за каждый следующий час путь увеличивается на одну и ту же величину — \(60\) км.

Что означает наклон графика¶

На графике \(s(t)\) по горизонтали откладывают время, а по вертикали — путь.

Если скорость маленькая, путь растёт медленно, и прямая получается пологой.

Если скорость большая, путь растёт быстро, и прямая получается круче.

Например:

\[ s = 30t \]

растёт медленнее, чем

\[ s = 60t. \]

А

\[ s = 90t \]

растёт быстрее.

Число перед \(t\) — это скорость. В математике оно играет роль углового коэффициента.

Стоит или движется?¶

Если тело покоится, его координата не меняется.

Например:

\[ x(t) = 5. \]

График — горизонтальная прямая.

Это означает: время идёт, а положение остаётся тем же.

Скорость равна нулю.

Ключевая идея

График движения — это история движения.

Наклонная прямая: тело движется равномерно.
Более крутая прямая: скорость больше.
Горизонтальная прямая: тело покоится.

В §4 мы будем читать графики подробнее. Здесь важно увидеть первое правило: при равномерном движении график пути или координаты от времени — прямая.

§3.4. Информатика: считаем скорость и строим таблицу¶

В программировании формула скорости превращается в функцию.

Код: функция скорости¶

Что демонстрирует: формулу \(v = s/t\) как вычисление.

def speed(distance, time):
    return distance / time

print(speed(120, 2))  # 60.0

Функция speed получает два входа:

distance — путь;
time — время.

И возвращает скорость.

Важно: деление на ноль¶

Если время равно нулю, скорость по формуле

\[ v = \frac{s}{t} \]

посчитать нельзя.

В Python это тоже ошибка:

print(speed(100, 0))

Программа выдаст ошибку деления на ноль.

Поэтому лучше написать функцию аккуратнее:

def speed(distance, time):
    if time == 0:
        return None
    return distance / time

v = speed(120, 2)
print(v)

Значение None означает: результата нет, потому что входные данные некорректны.

Код: путь при равномерном движении¶

Что демонстрирует: формулу \(s = vt\).

def path_uniform(v, t):
    return v * t

speed_kmh = 60

for t in range(6):
    s = path_uniform(speed_kmh, t)
    print(f"t = {t} ч → s = {s} км")

Результат:

t = 0 ч → s = 0 км
t = 1 ч → s = 60 км
t = 2 ч → s = 120 км
t = 3 ч → s = 180 км
t = 4 ч → s = 240 км
t = 5 ч → s = 300 км

Здесь цикл for делает то, что ученик обычно делает в таблице: подставляет разные значения времени и считает путь.

Код: график равномерного движения¶

Что демонстрирует: связь формулы, таблицы и графика.

import matplotlib.pyplot as plt

speed_kmh = 60

times = []
distances = []

for t in range(6):
    s = speed_kmh * t
    times.append(t)
    distances.append(s)

plt.plot(times, distances, marker='o')
plt.xlabel('Время, ч')
plt.ylabel('Путь, км')
plt.title('Равномерное движение: v = 60 км/ч')
plt.grid(True)
plt.show()

На графике получится прямая.

Если заменить скорость \(60\) на \(90\), точки снова лягут на прямую, но она будет круче.

Код: координата при движении не из нуля¶

Пусть тело в момент \(t=0\) находилось в точке \(x_0 = 10\) м и двигалось со скоростью \(v = 3\) м/с.

Тогда

\[ x(t) = x_0 + vt = 10 + 3t. \]

x0 = 10
v = 3

for t in range(6):
    x = x0 + v * t
    print(f"t = {t} с → x = {x} м")

Результат:

t = 0 с → x = 10 м
t = 1 с → x = 13 м
t = 2 с → x = 16 м
t = 3 с → x = 19 м
t = 4 с → x = 22 м
t = 5 с → x = 25 м

Ключевая идея

Физическая формула превращается в алгоритм:

задать начальные данные;
подставить их в формулу;
повторить для разных значений времени;
получить таблицу или график.

§3.5. Три мира скорости¶

Вернёмся к идее курса: одно понятие можно увидеть в трёх мирах.

В мире физики¶

Скорость показывает, как быстро тело проходит путь.

Физик спрашивает:

какой путь прошло тело?
за какое время?
равномерно ли оно двигалось?
в каком направлении оно двигалось?

Главная формула:

\[ v = \frac{s}{t}. \]

Для равномерного движения:

\[ s = vt. \]

В мире математики¶

Равномерное движение — это линейная зависимость.

Если начальное положение равно нулю:

\[ s = vt. \]

Это прямая пропорциональность.

Если начальное положение не равно нулю:

\[ x(t) = x_0 + vt. \]

Это линейная функция.

Математик видит в скорости коэффициент при времени.

В мире компьютера¶

Компьютер получает числа и выполняет алгоритм.

def path_uniform(v, t):
    return v * t

Для компьютера v и t — просто переменные. Смысл появляется потому, что мы правильно связали их с физической моделью.

Компьютер может быстро:

считать скорость;
строить таблицу;
строить график;
проверять разные значения.

Сравнение трёх миров¶

Вопрос	Физика	Математика	Информатика
Как быстро движется тело?	\(v = s/t\)	отношение двух величин	`distance / time`
Какой путь пройден?	\(s = vt\)	прямая пропорциональность	`v * t`
Где тело в момент времени \(t\)?	\(x(t) = x_0 + vt\)	линейная функция	`x0 + v * t`
Как выглядит движение?	равномерное или нет	график: прямая или кривая	`matplotlib`

Ключевая идея

Физик говорит: скорость — это путь за единицу времени.

Математик говорит: это коэффициент линейной зависимости.

Программист пишет функцию и строит таблицу.

Во всех трёх мирах речь идёт об одной идее: движение имеет ритм.

§3.6. Задачи¶

Базовые¶

Пешеход прошёл \(12\) км за \(3\) часа. Найдите скорость.
Автомобиль ехал \(2\) часа со скоростью \(80\) км/ч. Найдите путь.
Поезд прошёл \(450\) км со скоростью \(90\) км/ч. Найдите время движения.
Переведите в м/с:
\(36\) км/ч;
\(72\) км/ч;
\(108\) км/ч.
Переведите в км/ч:
\(5\) м/с;
\(10\) м/с;
\(20\) м/с.
Тело движется по формуле

\[ s = 7t. \]

Что означает число \(7\)?

Аналитические¶

Дано движение:

\[ x(t) = 5 + 2t. \]

Найдите начальную координату и скорость.

Два тела движутся по формулам:

\[ s_1 = 40t, \]

\[ s_2 = 70t. \]

Какое тело движется быстрее? Во сколько раз путь второго тела больше пути первого за одно и то же время?

Автобус за первые \(2\) часа прошёл \(120\) км, а за следующие \(2\) часа — ещё \(120\) км. Можно ли считать движение равномерным на всём промежутке? Что ещё нужно знать?
Тело двигалось по прямой: сначала \(10\) м вправо за \(2\) с, затем \(10\) м влево за \(2\) с. Чему равен путь? Чему равно перемещение? Можно ли по одному только пути понять, где тело оказалось?

Программирование¶

Напишите функцию speed(distance, time), которая возвращает скорость.
Напишите функцию path_uniform(v, t), которая возвращает путь при равномерном движении.
Напишите программу, которая выводит таблицу пути для скорости \(5\) м/с при времени от \(0\) до \(10\) секунд.
Измените код графика так, чтобы на одном рисунке были три движения:

\[ s_1 = 30t, \]

\[ s_2 = 60t, \]

\[ s_3 = 90t. \]

Сравните наклоны прямых.

Исследовательские¶

Измерьте время, за которое вы проходите \(10\) метров спокойным шагом. Найдите свою скорость в м/с и км/ч.
Запишите данные движения игрушечной машинки или шарика: время и пройденный путь. Постройте таблицу. Похоже ли движение на равномерное?
Придумайте ситуацию, где скорость нельзя считать постоянной. Как будет выглядеть график пути от времени: прямой или кривой?

§3.7. Задачи, приближённые к ОГЭ и ЕГЭ¶

Задача 1. Физика, ОГЭ: скорость¶

Автомобиль проехал \(180\) км за \(3\) часа. Найдите среднюю скорость автомобиля.

Решение.

Используем формулу:

\[ v = \frac{s}{t}. \]

Подставляем:

\[ v = \frac{180}{3} = 60 \text{ км/ч}. \]

Ответ:

\[ 60 \text{ км/ч}. \]

Задача 2. Физика, ОГЭ: перевод единиц¶

Скорость тела равна \(54\) км/ч. Выразите эту скорость в м/с.

Решение.

\[ 54 \text{ км/ч} = \frac{54}{3{,}6} \text{ м/с} = 15 \text{ м/с}. \]

Ответ:

\[ 15 \text{ м/с}. \]

Задача 3. Математика: линейная зависимость¶

Путь тела задаётся формулой

\[ s(t) = 4t. \]

Найдите путь за \(7\) секунд. Что означает число \(4\)?

Решение.

Подставим \(t = 7\):

\[ s(7) = 4 \cdot 7 = 28. \]

Число \(4\) — скорость тела, если путь измеряется в метрах, а время в секундах.

Ответ:

\[ 28 \text{ м}, \qquad v = 4 \text{ м/с}. \]

Задача 4. Информатика: программа скорости¶

Что выведет программа?

def speed(distance, time):
    return distance / time

print(speed(150, 3))
print(speed(72, 2))

Решение.

Первый вызов:

\[ \frac{150}{3} = 50. \]

Второй вызов:

\[ \frac{72}{2} = 36. \]

Ответ:

50.0
36.0

Задача 5. График движения¶

Тело движется равномерно. Его путь описывается формулой

\[ s = 12t. \]

Каким будет график зависимости \(s(t)\)? Чему равна скорость?

Решение.

Формула имеет вид прямой пропорциональности:

\[ y = kx. \]

Значит, график — прямая, проходящая через начало координат.

Коэффициент при \(t\) равен \(12\), значит скорость:

\[ v = 12. \]

Если путь измеряется в метрах, а время в секундах, то

\[ v = 12 \text{ м/с}. \]

Ответ: график — прямая через начало координат; скорость \(12\) м/с.

§3.8. Итог¶

Главный вывод¶

Скорость связывает путь и время.

Если тело проходит путь \(s\) за время \(t\), то

\[ v = \frac{s}{t}. \]

При равномерном движении скорость постоянна, поэтому

\[ s = vt. \]

Если начальная координата не равна нулю, положение тела описывается формулой

\[ x(t) = x_0 + vt. \]

Что нужно запомнить¶

Скорость показывает путь, пройденный за единицу времени.
В СИ скорость измеряется в м/с.
Чтобы перевести км/ч в м/с, нужно разделить на \(3{,}6\).
Чтобы перевести м/с в км/ч, нужно умножить на \(3{,}6\).
При равномерном движении за равные промежутки времени тело проходит равные пути.
Формула \(s = vt\) задаёт прямую пропорциональность.
Формула \(x(t) = x_0 + vt\) задаёт линейную функцию.
На графике \(s(t)\) скорость видна как наклон прямой.
В Python формулы движения превращаются в функции и циклы.

Ответы на три вопроса из начала¶

Велосипедисты проехали одинаковый путь, но двигались не одинаково. Тот, кто проехал \(12\) км за \(30\) минут, имел большую скорость.
Если автомобиль едет равномерно со скоростью \(60\) км/ч, он проходит по \(60\) км за каждый час. В реальности скорость может меняться, поэтому это модель равномерного движения.
В формуле \(s = 4t\) число \(4\) означает скорость. График — прямая, потому что при каждом одинаковом увеличении времени путь увеличивается на одну и ту же величину.

Мост к §4¶

Мы увидели, что равномерное движение удобно описывать формулой, таблицей и графиком.

Но графики умеют больше, чем просто показывать прямую. По графику можно понять, когда тело двигалось, когда стояло, где скорость была больше, а где меньше. График может рассказать историю движения быстрее, чем длинное описание словами.

В следующем параграфе мы разберём это отдельно:

§4. Графический язык.