М2 §1. Сила как вектор: почему санки едут не туда, куда тянут

Вопросы к М2 §1

Двое тянут санки. Один — вправо и чуть вперёд, другой — вправо и чуть назад. Санки едут строго вправо: ни туда, куда тянет первый, ни туда, куда тянет второй. Куда делись их направления?

Вы стоите в лифте, и лифт трогается вверх. На секунду вы чувствуете себя тяжелее — колени чуть подгибаются, сумка в руке тянет сильнее. Но вы не поправились за эту секунду. Масса та же. Что же изменилось?

К пружине подвесили груз, и она растянулась на два сантиметра. Подвесили груз втрое тяжелее. На сколько растянется пружина теперь — и почему вы, скорее всего, ответили правильно, ни разу не видев эту пружину?

Три вопроса, три разные ситуации. Ответ на все три — один и тот же объект, с которым вы уже знакомы, но пока только с математической стороны. Это вектор.

Пять предыдущих параграфов вы учились описывать, где находится тело и как оно движется. Вы научились задавать положение координатами, отличать путь от перемещения, читать графики движения и заменять набор измерений одним числом — средним. Всё это описание: фотография движения, снятая аккуратно и в правильных единицах.

Но описание не отвечает на вопрос «почему». Почему санки поехали? Почему они поехали именно туда, а не в другую сторону? Почему одни тела сдвинуть легко, а другие невозможно? Чтобы ответить, нужна новая величина — та, которая описывает не само движение, а его причину.

Эта величина называется силой. И с первого шага она устроена сложнее, чем всё, что вы измеряли до сих пор. Массу можно назвать одним числом: три килограмма. Время — одним числом: пять секунд. Силу одним числом назвать нельзя, и в этом весь фокус.

Вспомните перемещение из второго параграфа. Оно тоже не описывалось одним числом: чтобы задать перемещение, нужно сказать «на сколько» и «куда». Вы называли такие величины векторными. Сила — вторая векторная величина в этом курсе, и с неё начинается настоящая физика.

М2 §1.1. Физика: сила как мера взаимодействия

Сила — это мера взаимодействия тел. Обозначается буквой \(F\), измеряется в ньютонах (Н).

В этом определении спрятано слово, которое стоит подчеркнуть красным: взаимодействие. Сила не бывает сама по себе. Она всегда описывает, как одно тело действует на другое. Нельзя сказать «в мяче есть сила» — можно сказать «нога действует на мяч с силой» или «Земля притягивает мяч с силой». Всегда два тела: кто действует и на кого.

Проверьте себя простым приёмом: назовите оба тела. Если получилось — вы говорите о силе. Если второе тело назвать не удаётся, значит, речь о чём-то другом.

Чтобы полностью задать силу, нужно указать три вещи. Модуль — насколько сильно, в ньютонах. Направление — в какую сторону. И точку приложения — куда именно приложена сила. Изменится любая из трёх — изменится результат. Дверь, которую толкают у ручки, открывается легко; та же сила у петель почти ничего не даёт.

Именно поэтому силу изображают стрелкой. Начало стрелки — точка приложения, направление стрелки — направление силы, длина стрелки — модуль. Один рисунок содержит все три характеристики сразу.

Важно понимать, что именно показывает стрелка: направление силы, а не направление движения. Тело может стоять на месте, хотя к нему приложены силы, — и это будет темой следующего параграфа.

Сила изображается стрелкой: начало — точка приложения, направление — направление силы, длина — модуль.

Самая частая ошибка в этой теме звучит совершенно естественно. «У штангиста большая сила». «В ударе была большая сила». «Сила ветра снесла крышу». Так говорят все, и в обычной речи это нормально.

В физике так говорить нельзя, и вот почему. Если сила — свойство тела, вроде массы или цвета, то она есть у тела всегда, независимо ни от чего. Но штангист, который спит, ни на что не действует. Ветер, который стих, крышу не сносит. То, что мы называем «силой штангиста», — это сила, с которой он действует на штангу в момент подъёма. Уберите штангу — исчезнет и сила.

Правильные формулировки всегда содержат оба тела. Не «сила ветра», а «сила, с которой ветер действует на крышу». Не «сила удара», а «сила, с которой нога действует на мяч». Поначалу это кажется занудством, но именно эта привычка через два параграфа спасёт вас на задачах о равновесии: там нужно перечислить все силы, действующие на тело, и пропущенное второе тело — самая частая причина потерянной силы.

Есть и практическое следствие. Если вы не можете назвать второе тело — возможно, вы придумали силу, которой нет. Такое случается: например, ученики часто рисуют «силу движения», действующую на летящий мяч вперёд. Спросите себя, какое тело её создаёт. Воздух? Он, наоборот, тормозит. Рука? Она уже не касается мяча. Такой силы не существует.

Масса, ньютон и динамометр

Прежде чем считать силы, нужна ещё одна величина. Масса — это мера количества вещества в теле. Обозначается \(m\), измеряется в килограммах (кг).

У массы есть два свойства, которые пригодятся немедленно. Первое: масса — скаляр. У неё есть значение, но нет направления; фраза «масса, направленная вправо» бессмысленна. Второе, более важное: масса не зависит от того, где тело находится. Килограммовая гиря останется килограммовой на экваторе, на полюсе, на вершине Эвереста и на Луне. Масса — это про само тело, а не про его обстоятельства.

Единица силы названа в честь Исаака Ньютона. Один ньютон — это примерно та сила, с которой Земля притягивает к себе стограммовое яблоко. Порядки величин полезно чувствовать: чтобы удержать литровую бутылку воды, нужно около 10 Н; чтобы поднять школьный рюкзак — около 50 Н; трос лифта работает с силами в десятки тысяч ньютонов.

Измеряют силу динамометром — прибором, чьё название составлено из греческих слов «динамис» (сила) и «метрон» (мера). Внутри у него пружина, и это не случайность: устройство динамометра объясняется законом, до которого мы дойдём через несколько страниц. Пока просто запомните: сила измеряется прибором так же, как длина — линейкой, и у динамометра, как у любого прибора, есть цена деления и погрешность.

Лабораторный динамометр: пружина растягивается, шкала показывает силу.

Сила тяжести

Отпустите любой предмет — он упадёт. Причина в силе тяжести: силе, с которой Земля притягивает тело.

Обозначается она \(F_{\text{тяж}}\) и вычисляется просто:

\[F_{\text{тяж}} = mg\]

Здесь \(m\) — масса тела в килограммах, а \(g\) — коэффициент силы тяжести, показывающий, с какой силой Земля тянет каждый килограмм массы. Вблизи поверхности Земли

\[g \approx 9{,}8 \ \text{Н/кг}\]

Прочитайте единицу вслух: ньютон на килограмм. Она говорит ровно то, что нужно: на каждый килограмм массы приходится 9,8 ньютона притяжения. Тело массой 2 кг Земля тянет с силой \(2 \cdot 9{,}8 = 19{,}6\) Н. Тело массой 50 кг — с силой 490 Н.

Сила тяжести — вектор, и оба его свойства важны. Направлена она вертикально вниз, к центру Земли. А приложена — к центру тела, а не к точке, которой тело касается опоры. Это стоит запомнить сразу: стрелку силы тяжести всегда рисуют из середины тела вниз. Ошибка «приложить силу тяжести к подошве» настолько живуча, что её отмечают даже у выпускников на экзамене.

У коэффициента \(g\) есть, забегая вперёд, и второе имя: физики называют эту величину ускорением свободного падения. Почему коэффициент пропорциональности вдруг оказывается ускорением — вопрос девятого класса, и там вы это разберёте полностью. Пока достаточно знать, что имя существует и что за ним стоит нечто большее, чем удобный множитель.

В расчётах \(g\) часто округляют до 10 Н/кг. Это законное упрощение — вы уже знаете из первого параграфа, что округление есть сознательный выбор точности, а не небрежность. Но выбор нужно объявлять: если в условии сказано «принять \(g = 10\) Н/кг», округляйте, если нет — считайте с 9,8.

Вес: сила, приложенная не к телу

Теперь самое тонкое место параграфа. Вес тела — это сила, с которой тело действует на опору или подвес. Обозначается \(P\), измеряется, как всякая сила, в ньютонах.

Перечитайте определение ещё раз и обратите внимание, к чему приложен вес. Не к телу. К опоре. Книга лежит на столе: сила тяжести тянет книгу вниз и приложена к книге, а вес — это давление книги на стол, и приложен он к столу.

Отсюда сразу следует важное: сила тяжести и вес — это разные силы, приложенные к разным телам. Они не превращаются друг в друга, и одна не является другой под другим именем.

Почему же тогда их постоянно путают? Потому что в самой обычной ситуации — тело покоится на неподвижной горизонтальной опоре — их модули численно совпадают:

\[P = F_{\text{тяж}} = mg\]

Совпадают числа, но не силы. Это как если бы у двух разных людей совпал рост: удобно для сравнения, но люди остались разными.

А теперь вернитесь к вопросу про лифт. Лифт трогается вверх — и вы становитесь тяжелее. Масса не изменилась, сила тяжести не изменилась (вы не отдалились от Земли), а вес вырос: вы сильнее давите на пол. Значит, равенство \(P = mg\) выполняется не всегда, а только для покоящейся опоры. Почему именно при разгоне вес меняется — вопрос темы «Динамика», и мы к нему вернёмся позже. Пока достаточно увидеть: масса и вес — величины разной природы, и лифт это доказывает наглядно.

Сила тяжести приложена к книге, вес — к столу: числа совпадают, тела разные.

Эту фразу произносят каждый день, и она физически неверна дважды.

Во-первых, килограмм — единица массы, а не силы. Если вы говорите о килограммах, вы называете массу. Во-вторых, то, что показывают напольные весы, — это действительно сила, с которой вы давите на них, то есть вес. Просто шкала весов проградуирована в килограммах: прибор измеряет силу, делит её на 9,8 и показывает результат.

Такая градуировка удобна ровно до тех пор, пока вы стоите на Земле. Возьмите те же весы на Луну — и они солгут. Луна притягивает слабее: там \(g \approx 1{,}6\) Н/кг, впятеро меньше земного. Человек массой 60 кг на Луне имеет вес около 96 Н вместо земных 588 Н, и весы покажут примерно «десять килограммов». При этом самого человека не убавилось: вещества в нём столько же, и масса по-прежнему 60 кг.

Отсюда простое правило, которое стоит запомнить на всю жизнь: масса — это про тело, вес — про обстоятельства. Масса одинакова везде. Вес зависит от того, где вы находитесь и что происходит с опорой.

Кстати, космонавты на орбите не «теряют массу» — они теряют вес. Станция и всё в ней свободно падают вокруг Земли, опора ни на что не давит, и вес обращается в ноль. Масса при этом остаётся прежней, и толкнуть тяжёлый ящик в невесомости так же трудно, как на Земле.

Сила упругости и закон Гука

Третья сила этого параграфа появляется всякий раз, когда тело деформируют — растягивают, сжимают, изгибают. Сила упругости — это сила, с которой деформированное тело стремится вернуть себе прежнюю форму.

Возьмите пружину и растяните её. Пружина тянет обратно. Отпустите — она сожмётся до исходной длины. Направлена сила упругости всегда против деформации: растянули — тянет назад, сжали — толкает наружу.

Английский учёный Роберт Гук в 1660 году обнаружил, что эта сила устроена удивительно просто:

\[F_{\text{упр}} = k\,\Delta l\]

Здесь \(\Delta l\) — удлинение, то есть насколько изменилась длина по сравнению с недеформированной, в метрах. Читается «дельта эль»: греческая буква \(\Delta\) во всей физике означает «изменение», и вы уже встречали её в первом параграфе, где \(\Delta\) обозначала погрешность — тоже изменение, только измеренного значения относительно истинного. А \(k\) — жёсткость пружины, измеряется в ньютонах на метр (Н/м). Жёсткость — характеристика самой пружины: у тугой пружины она большая, у слабой маленькая.

Теперь у вас есть всё, чтобы ответить на третий вопрос из начала параграфа. Груз растянул пружину на 2 см. Втрое более тяжёлый груз действует втрое большей силой, а раз сила пропорциональна удлинению — удлинение тоже вырастет втрое, до 6 см. Вы, скорее всего, ответили так с самого начала, не зная ни закона, ни формулы: пропорциональность — вещь настолько привычная, что мы пользуемся ею до всякой физики.

И заодно объясняется устройство динамометра. Внутри него пружина известной жёсткости; сила растягивает её, удлинение пропорционально силе, поэтому шкалу можно нанести равномерно — обычной линейкой. Прибор работает по закону Гука, и потому его деления одинаковы по всей шкале.

Жёсткость — знакомая величина

Посмотрите на закон Гука ещё раз: \(F_{\text{упр}} = k\,\Delta l\). Ничего не напоминает?

В четвёртом параграфе вы строили графики прямой пропорциональности и записывали их формулой \(y = kx\). Вы знаете про эту формулу всё: график — прямая, проходящая через начало координат, а коэффициент \(k\) задаёт наклон. Чем больше \(k\), тем круче прямая.

Закон Гука — это ровно та же формула, только вместо \(y\) стоит сила, а вместо \(x\) — удлинение \(\Delta l\). Значит, если провести опыт — подвешивать разные грузы и измерять удлинение, — а потом отложить точки на графике, получится прямая через начало координат. И наклон этой прямой есть жёсткость пружины.

Зависимость силы упругости от удлинения: прямая через начало координат, наклон — жёсткость.

Совпадение буквы \(k\) в физике и в математике не случайно. Это одна и та же величина, увиденная с двух сторон. Математик скажет «угловой коэффициент прямой» и будет прав. Физик скажет «жёсткость пружины» и тоже будет прав. Разница только в том, что у физика коэффициент имеет единицы — ньютоны на метр — и его можно потрогать руками.

Отсюда, кстати, вытекает способ измерить жёсткость, не имея паспорта пружины. Подвесьте два разных груза, измерьте два удлинения, постройте прямую по двум точкам — и найдите наклон так же, как вы это делали на уроках математики. Аппарат из четвёртого параграфа работает в физической задаче без единой поправки.

М2 §1.2. Математика: как складывать направленные величины

Мы разобрали три силы по отдельности. Но в жизни на тело почти никогда не действует одна сила: на книгу на столе действует и притяжение Земли, и стол; на санки — оба человека сразу; на пружину с грузом — и груз, и подвес.

Возникает вопрос: если на тело действуют две силы, что получится в итоге? Ответ называется равнодействующей — это одна сила, которая действует на тело так же, как все приложенные силы вместе. Обозначим её \(R\).

Соблазн велик: сложить числа. Две силы по 3 Н и 4 Н — значит, 7 Н. Иногда так и выходит: если оба человека тянут санки в одну сторону, силы действительно складываются как числа. Но стоит им потянуть в разные стороны, и результат окажется другим — 1 Н вместо 7. А если под прямым углом, то и вовсе 5 Н, что не похоже ни на сумму, ни на разность.

Причина в том, что сила — не число, а вектор. Для векторов существует своя операция — сложение векторов, и в ней направление участвует наравне с модулем. Складывать модули, забыв про направления, — всё равно что складывать перемещения «три шага» и «четыре шага», не спросив, куда именно.

С перемещениями вы это уже проходили. Пройти три метра на восток и четыре на север — не то же самое, что пройти семь метров куда попало. Вы окажетесь в пяти метрах от старта, и найти это число вы умеете со второго параграфа. Сила подчиняется тому же правилу, потому что она — векторная величина, как и перемещение.

Правило треугольника

Первый способ сложить два вектора называется правилом треугольника, и делается это в три шага.

Первый шаг: отложите первый вектор — как есть, из его начала. Второй шаг: отложите второй вектор так, чтобы его начало совпало с концом первого. Третий шаг: соедините начало первого вектора с концом второго. Полученный вектор и есть сумма.

Название понятно из рисунка: три вектора образуют треугольник. Два слагаемых идут «по сторонам», а сумма — «напрямик».

Правило треугольника: слагаемые идут по сторонам, сумма — напрямик.

Почему так, а не иначе, легче всего понять на перемещениях. Вы прошли из дома до перекрёстка — это первый вектор. Потом от перекрёстка до школы — второй. Ваше суммарное перемещение — это стрелка от дома прямо до школы, минуя перекрёсток. Именно её и строит правило треугольника.

Обратите внимание на важную деталь: во втором шаге второй вектор пришлось перенести — приложить его начало к концу первого. Это законно, и вы знаете почему: во втором параграфе сказано, что вектор можно переносить параллельно самому себе, если длина и направление не изменились. Правило треугольника опирается на это свойство напрямую. Без него сложение было бы невозможно.

Правило параллелограмма

Есть и второй способ, который для сил обычно удобнее. Правило параллелограмма работает так: отложите оба вектора из одной точки, достройте на них параллелограмм, и его диагональ, выходящая из этой же точки, будет суммой.

Оба правила дают один и тот же результат — это два способа нарисовать одно и то же. Убедиться легко: диагональ параллелограмма и «замыкающая» сторона треугольника — один и тот же отрезок, просто получен он разными построениями.

Правило параллелограмма: диагональ из общего начала и есть сумма.

Почему же для сил чаще берут параллелограмм? Потому что силы, действующие на тело, обычно приложены к одной точке — к самому телу. Растаскивать их по цепочке, как требует правило треугольника, было бы искусственно: физически ни одна из сил не «начинается там, где кончается другая», они действуют одновременно. Параллелограмм эту одновременность сохраняет.

А вот для перемещений естественнее треугольник: перемещения и правда идут одно за другим, второе начинается там, где закончилось первое. Так что выбор правила — это не вопрос вкуса, а вопрос того, что вы складываете. Одна математика, две физические ситуации.

Три и четыре дают пять

Разберём случай, который выглядит парадоксально, пока не нарисуешь.

На тело действуют две силы. Первая — 3 Н, направлена вправо. Вторая — 4 Н, направлена вверх. Угол между ними прямой. Чему равна равнодействующая?

Отложим обе силы из точки приложения и достроим параллелограмм. Поскольку угол прямой, параллелограмм оказывается прямоугольником, а его диагональ — гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4.

Дальше работает формула, которую вы вывели во втором параграфе для длины вектора:

\[R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \ \text{Н}\]

Пять ньютонов. Не семь, как получилось бы при сложении чисел, и не один, как при вычитании. Ответ лежит между ними, и найден он теоремой Пифагора — той самой, которая появилась в этом курсе как способ считать расстояние между точками на плоскости.

Заметьте, что произошло. Задача чисто физическая: даны силы, найти равнодействующую. А решается она инструментом из геометрии, причём без всякой адаптации. Это не совпадение и не удачный пример: раз сила — вектор, к ней применимо всё, что справедливо для векторов вообще. Физика поставила вопрос, математика дала готовый ответ.

М2 §1.3. Информатика: черепаха проходит путь

Правило треугольника можно не только нарисовать, но и заставить компьютер пройти его на ваших глазах. Для этого подойдёт библиотека turtle — «черепашья графика». На экране появляется черепашка, которая ползает и оставляет за собой след.

Команд нужно всего три: forward(n) — проползти вперёд \(n\) шагов, left(a) и right(a) — повернуть на \(a\) градусов.

import turtle

t = turtle.Turtle()

# Первый вектор: 120 шагов вправо
t.forward(120)

# Второй вектор: поворот на 90° и 90 шагов вверх
t.left(90)
t.forward(90)

finish = t.position()
print("Черепаха оказалась в точке:", finish)

Черепаха прошла два отрезка и остановилась. Теперь построим сумму — вернём её в начало и отправим прямо в конечную точку:

t.penup()
t.goto(0, 0)
t.pendown()
t.goto(finish)

На экране получился треугольник: две стороны — слагаемые, третья — сумма. Ровно то построение, которое вы делали карандашом.

Длину суммы можно посчитать, не измеряя линейкой:

import math

dlina = math.sqrt(120**2 + 90**2)
print("Длина суммарного вектора:", dlina)

Длина суммарного вектора: 150.0

Программа выведет 150.0. Проверьте: \(120^2 + 90^2 = 14400 + 8100 = 22500\), а \(\sqrt{22500} = 150\). Черепаха, прошедшая 120 шагов вправо и 90 вверх, оказалась в 150 шагах от старта — хотя проползла 210.

Узнаёте? Путь 210, перемещение 150. Ровно то различие, с которого начинался второй параграф.

Тот же треугольник, построенный черепахой: два пути и замыкающая сумма.

М2 §1.4. Три мира: одно правило

Соберём параграф в одно утверждение.

Мир физический. На тело действуют несколько сил одновременно. Результат их совместного действия — одна равнодействующая сила, и найти её направление «на глаз» не получается: санки едут не туда, куда тянет каждый.

Мир математический. Существует операция сложения векторов — правило треугольника и правило параллелограмма. Она определена без всякой физики, просто как действие над направленными отрезками. Длина суммы считается по теореме Пифагора, если слагаемые перпендикулярны.

Мир вычислительный. Черепаха выполняет команды одну за другой и оказывается в точке, положение которой можно вычислить. Программа считает длину суммарного вектора за одну строку и не ошибается в арифметике.

Три описания одного и того же. Физика поставила задачу, математика дала аппарат, программа проверила ответ и показала его глазами.

Но здесь нужна честная оговорка, и без неё картина была бы обманом. Черепаха складывает перемещения, а не силы. Она ползёт по экрану, и её маршрут — это перемещения, а не действия одних тел на другие. Программа не моделирует физику; она демонстрирует правило.

Правило же — общее. Оно верно для перемещений, верно для сил, и позже вы увидите, что оно верно для скоростей, ускорений и ещё для десятка величин, о которых пока не слышали. Все они векторные, и все складываются одинаково. В этом и состоит сила математического аппарата: научившись однажды, вы применяете его всюду, где есть направление.

М2 §1.5. Задачи

Первый уровень — проверить понимание.

1. Назовите оба тела в каждом случае: (а) верёвка тянет санки; (б) Земля притягивает камень; (в) стол давит на книгу. Какое из тел испытывает силу, а какое её создаёт?

2. Масса гири 5 кг. Найдите силу тяжести, действующую на неё. Примите \(g = 10\) Н/кг.

3. Пружина жёсткостью 40 Н/м растянута на \(\Delta l = 0{,}05\) м. Чему равна сила упругости?

4. Тело массой 3 кг лежит на столе. Чему равен его вес и к какому телу он приложен?

Второй уровень — применить.

1. На тело действуют две силы: 6 Н вправо и 8 Н вниз. Постройте равнодействующую по правилу параллелограмма и найдите её модуль.

2. Под действием груза 12 Н пружина удлинилась на 3 см. Найдите жёсткость пружины. Какое удлинение даст груз 20 Н?

3. Космонавт массой 70 кг находится на Марсе, где \(g \approx 3{,}7\) Н/кг. Найдите его массу и вес на Марсе. Какая из двух величин изменилась по сравнению с Землёй?

Третий уровень — межпредметный кластер. Три задачи об одной пружине.

1. (Физика.) Пружину растягивали, подвешивая грузы, и записали результаты: 2 Н — 1 см, 4 Н — 2 см, 6 Н — 3 см, 8 Н — 4 см. Убедитесь, что закон Гука выполняется, и найдите жёсткость.

2. (Математика.) Постройте по этим данным график зависимости силы от удлинения. Убедитесь, что точки лежат на прямой, проходящей через начало координат, и найдите её угловой коэффициент. Сравните с ответом задачи 8. Что означает совпадение?

3. (Информатика.) Напишите программу, которая по списку сил и списку удлинений вычисляет жёсткость для каждой пары и выводит все значения. Что должно получиться, если закон Гука выполняется точно? А если измерения содержат погрешность — как будут выглядеть результаты?

Задача-звёздочка. Два человека тянут санки: первый — с силой 50 Н, второй — с силой 50 Н, угол между верёвками 90°. Какой одной силой и в каком направлении можно заменить их обоих? Изменится ли ответ, если оба будут тянуть вдвое слабее, но угол останется прежним?

М2 §1.6. Итог

Сила — мера взаимодействия двух тел, измеряется в ньютонах, и в разговоре о ней всегда участвуют оба тела. Чтобы задать силу, нужны три вещи: модуль, направление и точка приложения; поэтому силу и рисуют стрелкой.

Три силы получили имена. Сила тяжести \(F_{\text{тяж}} = mg\) приложена к центру тела и направлена вниз. Вес \(P\) приложен к опоре или подвесу, а не к телу, и совпадает с силой тяжести по модулю только тогда, когда опора покоится. Сила упругости \(F_{\text{упр}} = k\,\Delta l\) направлена против деформации, а её коэффициент \(k\) — жёсткость — оказался угловым коэффициентом прямой из четвёртого параграфа.

Массу и вес удалось развести окончательно: масса измеряется в килограммах, не зависит от места и описывает само тело; вес измеряется в ньютонах, зависит от обстоятельств и описывает давление тела на опору.

Складываются силы как векторы — по правилу треугольника или параллелограмма, и для перпендикулярных сил модуль равнодействующей находится по теореме Пифагора. Отсюда и ответ на первый вопрос параграфа: санки едут по равнодействующей, и её направление не совпадает ни с одной из приложенных сил.

Вопрос про лифт получил половину ответа: вес меняется, масса — нет. Вторая половина — почему именно при разгоне — ждёт темы «Динамика», позже в курсе. А пружина ответила полностью: втрое большая сила даёт втрое большее удлинение, потому что связь между ними линейна.

Мост к М2 §2

В этом параграфе силы складывались и давали ненулевой результат: санки ехали, пружина растягивалась, тела двигались. Но самый интересный случай мы обошли стороной.

Что если равнодействующая равна нулю?

Книга лежит на столе неподвижно. На неё действует сила тяжести — вниз. Значит, что-то должно действовать вверх, иначе книга провалилась бы сквозь стол. Две силы есть, а движения нет: они уравновешивают друг друга.

Следующий параграф, «Равновесие двух сил», разбирает именно этот случай. Вы узнаете, при каких условиях две силы гасят друг друга полностью, познакомитесь с противоположными векторами и научитесь проверять равновесие не только рисунком, но и программой — с помощью сравнения по допуску, которое вы освоили в Модуле 0.

А коэффициент \(g\), с которым вы сегодня познакомились как с числом ньютонов на килограмм, ещё покажет своё второе лицо. Вы уже знаете его второе имя — ускорение свободного падения; в девятом классе, в параграфе о свободном падении, станет понятно, почему эти два описания говорят об одном и том же.