§5. Среднее значение

Вопросы к §5

Запишите ответы — не подглядывая в текст.

• Автомобиль проехал первые \(60\) км со скоростью \(60\) км/ч, а следующие \(60\) км — со скоростью \(30\) км/ч. Его средняя скорость равна \(45\) км/ч? Или нет?
• В классе пять учеников получили оценки \(5, 5, 4, 3, 3\). Что означает средняя оценка? Всегда ли она совпадает с чьей-то реальной оценкой?
• Если один участок пути длиной \(10\) км, а другой — \(100\) км, можно ли просто сложить две скорости и разделить пополам?

К концу параграфа все три ответа станут понятными. А пока заметим главное: среднее значение — это способ заменить разные значения одним числом. Но делать это нужно аккуратно.

---

§5.1. Физика: средняя скорость

В §3 мы изучали равномерное движение. Там скорость была постоянной, и всё было просто:

\[ s = vt. \]

Но в реальной жизни движение редко бывает идеально равномерным.

Автомобиль разгоняется, тормозит, стоит на светофоре, снова едет. Велосипедист едет быстрее с горки и медленнее в гору. Человек идёт по коридору, останавливается, разговаривает, снова идёт.

Как описать такое движение одним числом?

Для этого используют среднюю скорость.

Определение. Средняя скорость

Средняя скорость равна всему пройденному пути, делённому на всё затраченное время:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}. \]

где:

• \(v_{\text{ср}}\) — средняя скорость;
• \(s_{\text{общ}}\) — весь путь;
• \(t_{\text{общ}}\) — всё время движения, включая остановки, если они входят в рассматриваемый промежуток.

Ключевая идея

Средняя скорость — это не «среднее арифметическое скоростей».

Средняя скорость всегда считается через общий путь и общее время.

Пример 1. Простое движение

Пешеход прошёл \(12\) км за \(3\) часа.

Средняя скорость:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{12}{3} = 4 \text{ км/ч}. \]

Если он шёл то быстрее, то медленнее, это не важно. Средняя скорость показывает, какой была бы постоянная скорость, если бы за то же время он прошёл тот же путь.

Пример 2. Движение с остановкой

Человек прошёл \(6\) км за \(1{,}5\) часа, потом отдыхал \(0{,}5\) часа, затем прошёл ещё \(4\) км за \(1\) час.

Общий путь:

\[ s_{\text{общ}} = 6 + 4 = 10 \text{ км}. \]

Общее время:

\[ t_{\text{общ}} = 1{,}5 + 0{,}5 + 1 = 3 \text{ ч}. \]

Средняя скорость за всё время:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 \text{ км/ч}. \]

Если бы мы не учитывали остановку, получили бы:

\[ v = \frac{10}{2{,}5} = 4 \text{ км/ч}. \]

Оба числа могут быть полезны, но они отвечают на разные вопросы.

• \(3{,}33\) км/ч — средняя скорость за весь промежуток времени.
• \(4\) км/ч — средняя скорость только во время ходьбы.

Пример 3. Почему нельзя просто усреднять скорости

Автомобиль проехал первые \(60\) км со скоростью \(60\) км/ч, а следующие \(60\) км — со скоростью \(30\) км/ч.

Кажется, что средняя скорость равна:

\[ \frac{60 + 30}{2} = 45 \text{ км/ч}. \]

Но это ошибка.

Найдём время на каждом участке.

Первый участок:

\[ t_1 = \frac{60}{60} = 1 \text{ ч}. \]

Второй участок:

\[ t_2 = \frac{60}{30} = 2 \text{ ч}. \]

Общий путь:

\[ s_{\text{общ}} = 60 + 60 = 120 \text{ км}. \]

Общее время:

\[ t_{\text{общ}} = 1 + 2 = 3 \text{ ч}. \]

Средняя скорость:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{120}{3} = 40 \text{ км/ч}. \]

Ответ не \(45\) км/ч, а \(40\) км/ч.

Почему?

Потому что на медленном участке автомобиль ехал дольше. Медленная скорость сильнее повлияла на общий результат.

Типичная ошибка

Складывать скорости и делить на количество участков:

\[ \frac{v_1 + v_2}{2}. \]

Так можно делать только в специальных случаях, например если тело двигалось с этими скоростями одинаковое время.

Для средней скорости по пути нужно считать:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}. \]

---

§5.2. Математика: среднее арифметическое

Среднее значение встречается не только в физике.

Средняя оценка, средняя температура, средний рост, среднее количество шагов в день — всё это попытки заменить набор чисел одним числом.

Самый простой вид среднего — среднее арифметическое.

Определение. Среднее арифметическое

Среднее арифметическое нескольких чисел равно сумме этих чисел, делённой на их количество:

\[ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}. \]

Например, оценки:

\[ 5,\quad 5,\quad 4,\quad 3,\quad 3. \]

Среднее арифметическое:

\[ \overline{x} = \frac{5 + 5 + 4 + 3 + 3}{5} = \frac{20}{5} = 4. \]

Средняя оценка равна \(4\).

Среднее может не быть реальным значением

Пусть есть оценки:

\[ 5,\quad 4,\quad 4,\quad 3. \]

Среднее:

\[ \overline{x} = \frac{5 + 4 + 4 + 3}{4} = \frac{16}{4} = 4. \]

Здесь среднее совпало с реальной оценкой.

А теперь другой набор:

\[ 5,\quad 5,\quad 4,\quad 4. \]

Среднее:

\[ \overline{x} = \frac{5 + 5 + 4 + 4}{4} = \frac{18}{4} = 4{,}5. \]

Оценки \(4{,}5\) в журнале может не быть. Но среднее значение всё равно имеет смысл: оно показывает общий уровень набора чисел.

Ключевая идея

Среднее значение не обязано совпадать с одним из исходных значений.

Это не «одно из чисел», а характеристика всего набора.

Средняя температура

Температуру измеряли в течение дня:

Время	Температура
8:00	\(12^\circ\)C
12:00	\(18^\circ\)C
16:00	\(20^\circ\)C
20:00	\(14^\circ\)C

Средняя температура по этим четырём измерениям:

\[ \overline{T} = \frac{12 + 18 + 20 + 14}{4} = \frac{64}{4} = 16^\circ\text{C}. \]

Это не значит, что весь день температура была \(16^\circ\)C. Это значит, что четыре измерения в среднем дают такое значение.

Среднее и выбросы

Среднее значение чувствительно к очень большим или очень маленьким значениям.

Например:

\[ 10,\quad 11,\quad 9,\quad 10,\quad 100. \]

Среднее:

\[ \overline{x} = \frac{10 + 11 + 9 + 10 + 100}{5} = \frac{140}{5} = 28. \]

Но большинство чисел около \(10\), а среднее получилось \(28\) из-за одного большого значения \(100\).

Такое необычное значение называют выбросом.

В реальных данных нужно не только считать среднее, но и смотреть на сами данные.

---

§5.3. Математика: взвешенное среднее

Иногда значения имеют разную важность.

Например, контрольная работа может весить больше, чем маленький устный ответ. Или скорость на длинном участке пути должна влиять на среднюю скорость сильнее, чем скорость на коротком участке.

Тогда используют взвешенное среднее.

Определение. Взвешенное среднее

Взвешенное среднее — это среднее, в котором у каждого значения есть вес:

\[ \overline{x} = \frac{x_1w_1 + x_2w_2 + \ldots + x_nw_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}. \]

где:

• \(x_i\) — значение;
• \(w_i\) — вес этого значения.

Пример с оценками

Пусть ученик получил:

• домашняя работа: \(5\), вес \(1\);
• самостоятельная: \(4\), вес \(2\);
• контрольная: \(3\), вес \(3\).

Обычное среднее:

\[ \frac{5 + 4 + 3}{3} = 4. \]

Но контрольная важнее. Посчитаем взвешенное среднее:

\[ \overline{x} = \frac{5\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3}{1 + 2 + 3}. \]

\[ \overline{x} = \frac{5 + 8 + 9}{6} = \frac{22}{6} \approx 3{,}67. \]

Взвешенное среднее ниже, потому что самая важная работа выполнена хуже.

Средняя скорость как взвешенное среднее

Средняя скорость тоже может быть понята как взвешенное среднее, но нужно выбрать правильные веса.

Если тело двигалось с разными скоростями в течение разных промежутков времени, то средняя скорость по времени равна:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{v_1t_1 + v_2t_2 + \ldots + v_nt_n}{t_1 + t_2 + \ldots + t_n}. \]

Здесь веса — это времена.

Почему?

Потому что путь на каждом участке равен:

\[ s_i = v_i t_i. \]

Тогда общий путь:

\[ s_{\text{общ}} = v_1t_1 + v_2t_2 + \ldots + v_nt_n. \]

А общее время:

\[ t_{\text{общ}} = t_1 + t_2 + \ldots + t_n. \]

Поэтому:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}} = \frac{v_1t_1 + v_2t_2 + \ldots + v_nt_n}{t_1 + t_2 + \ldots + t_n}. \]

Пример: разные времена

Автомобиль ехал:

• \(2\) часа со скоростью \(60\) км/ч;
• \(1\) час со скоростью \(90\) км/ч.

Средняя скорость:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{60\cdot 2 + 90\cdot 1}{2 + 1}. \]

\[ v_{\text{ср}} = \frac{120 + 90}{3} = 70 \text{ км/ч}. \]

Обычное среднее скоростей было бы:

\[ \frac{60 + 90}{2} = 75 \text{ км/ч}. \]

Но это неверно для этой ситуации, потому что с первой скоростью автомобиль ехал дольше.

Ключевая идея

Если значения действуют не одинаково долго или не одинаково важны, нужно использовать взвешенное среднее.

Обычное среднее — это частный случай, когда все веса равны.

---

§5.4. Информатика: считаем среднее в Python

Компьютер особенно полезен, когда чисел много.

Пять чисел можно сложить вручную. Но если измерений \(100\), \(1000\) или \(10\,000\), лучше написать программу.

Код: среднее арифметическое

Что демонстрирует: сумма списка и деление на количество элементов.

values = [5, 5, 4, 3, 3]

average = sum(values) / len(values)

print(average)

Результат:

4.0

Здесь:

• sum(values) считает сумму;
• len(values) считает количество элементов;
• деление даёт среднее значение.

Код: среднее через цикл for

Иногда полезно увидеть, что делает sum() внутри.

values = [5, 5, 4, 3, 3]

total = 0

for x in values:
    total = total + x

average = total / len(values)

print("Сумма:", total)
print("Среднее:", average)

Результат:

Сумма: 20
Среднее: 4.0

Цикл for проходит по всем значениям списка и добавляет каждое значение к общей сумме.

Важно: пустой список

Если список пустой, среднее посчитать нельзя.

values = []
average = sum(values) / len(values)

Здесь len(values) равно нулю. Деление на ноль невозможно.

Поэтому функцию лучше писать безопасно.

def average(values):
    if len(values) == 0:
        return None
    return sum(values) / len(values)

print(average([5, 5, 4, 3, 3]))
print(average([]))

Результат:

4.0
None

None означает: среднего значения нет, потому что данных нет.

Код: средняя скорость по участкам пути и времени

Что демонстрирует: физическую формулу средней скорости.

distances = [60, 60]  # км
times = [1, 2]        # ч

total_distance = sum(distances)
total_time = sum(times)

average_speed = total_distance / total_time

print(average_speed)

Результат:

40.0

Это тот самый пример: \(60\) км со скоростью \(60\) км/ч и \(60\) км со скоростью \(30\) км/ч.

Мы не усредняем скорости напрямую. Мы делим общий путь на общее время.

Код: взвешенное среднее

Что демонстрирует: значения с разными весами.

values = [5, 4, 3]
weights = [1, 2, 3]

weighted_sum = 0
weight_total = 0

for value, weight in zip(values, weights):
    weighted_sum = weighted_sum + value * weight
    weight_total = weight_total + weight

weighted_average = weighted_sum / weight_total

print(weighted_average)

Результат:

3.6666666666666665

Округлим для красивого вывода:

print(f"Среднее = {weighted_average:.2f}")

Результат:

Среднее = 3.67

Код: средняя температура за день

temperatures = [12, 18, 20, 14]

avg_temp = sum(temperatures) / len(temperatures)

print(f"Средняя температура = {avg_temp:.1f} °C")

Результат:

Средняя температура = 16.0 °C

Ключевая идея

Среднее значение — это алгоритм:

1. собрать данные;
2. сложить значения;
3. разделить на количество или на сумму весов;
4. проверить, что данные не пустые;
5. аккуратно интерпретировать результат.

---

§5.5. Три мира среднего значения

В мире физики

Средняя скорость описывает неравномерное движение одним числом.

Физик спрашивает:

• какой общий путь пройден?
• за какое общее время?
• входят ли остановки в это время?
• можно ли считать движение равномерным?

Главная формула:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}. \]

В мире математики

Среднее значение — это способ заменить набор чисел одним числом.

Обычное среднее:

\[ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}. \]

Взвешенное среднее:

\[ \overline{x} = \frac{x_1w_1 + x_2w_2 + \ldots + x_nw_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}. \]

Математик спрашивает:

• какие значения усредняются?
• одинаковы ли их веса?
• нет ли выбросов?
• что означает полученное число?

В мире компьютера

Компьютер работает со списком данных.

values = [5, 5, 4, 3, 3]
average = sum(values) / len(values)

Для взвешенного среднего нужны два списка:

values = [5, 4, 3]
weights = [1, 2, 3]

Программист спрашивает:

• есть ли данные?
• одинаковой ли длины списки значений и весов?
• нет ли деления на ноль?
• как округлить результат для вывода?

Сравнение трёх миров

Вопрос	Физика	Математика	Информатика
Что усредняем?	движение	набор чисел	список данных
Главная формула	\(s_{\text{общ}}/t_{\text{общ}}\)	сумма / количество	sum(values) / len(values)
Когда нужны веса?	разные времена или участки	разная важность значений	values + weights
Главная ошибка	усреднять скорости без учёта времени	забыть веса или выбросы	деление на ноль

Ключевая идея

Среднее значение полезно только тогда, когда мы понимаем, что именно усредняем и какие веса имеют данные.

Одно число может хорошо описывать набор, а может скрывать важные различия.

---

§5.6. Задачи

Базовые

1. Найдите среднее арифметическое чисел:

\[ 4,\quad 6,\quad 8,\quad 10. \]

1. Найдите среднюю оценку ученика:

\[ 5,\quad 4,\quad 5,\quad 3,\quad 4. \]

1. Пешеход прошёл \(10\) км за \(2\) часа. Найдите среднюю скорость.

2. Велосипедист проехал \(18\) км за \(1{,}5\) часа. Найдите среднюю скорость.

3. Температуру измерили четыре раза:

\[ 10^\circ\text{C},\quad 14^\circ\text{C},\quad 18^\circ\text{C},\quad 14^\circ\text{C}. \]

Найдите среднюю температуру.

Аналитические

1. Автомобиль проехал \(100\) км за \(2\) часа, затем стоял \(1\) час, затем проехал ещё \(50\) км за \(1\) час. Найдите среднюю скорость за всё время.

2. Поезд ехал \(2\) часа со скоростью \(80\) км/ч и \(3\) часа со скоростью \(60\) км/ч. Найдите среднюю скорость.

3. Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью \(40\) км/ч, а вторую половину пути — со скоростью \(80\) км/ч. Можно ли считать среднюю скорость как \((40 + 80)/2\)? Найдите правильный ответ, если весь путь равен \(160\) км.

4. Ученик получил оценки:

5. домашняя работа: \(5\), вес \(1\);

6. самостоятельная: \(4\), вес \(2\);
7. контрольная: \(5\), вес \(3\).

Найдите взвешенное среднее.

1. Набор чисел:

\[ 8,\quad 9,\quad 10,\quad 9,\quad 100. \]

Найдите среднее. Хорошо ли оно описывает типичное значение? Объясните.

Программирование

1. Напишите функцию average(values), которая возвращает среднее арифметическое списка.

2. Добавьте в функцию проверку: если список пустой, возвращать None.

3. Напишите функцию average_speed(distances, times), которая считает среднюю скорость по спискам путей и времён.

4. Напишите функцию weighted_average(values, weights), которая считает взвешенное среднее.

5. Дан список температур:

temperatures = [11, 13, 18, 21, 19, 15]

Найдите среднюю температуру и выведите результат с одной цифрой после запятой.

Исследовательские

1. В течение недели записывайте, сколько минут в день вы тратите на дорогу, чтение или тренировку. Найдите среднее значение.

2. Проведите эксперимент: измерьте время прохождения одного и того же расстояния три раза. Найдите среднюю скорость для каждого опыта и среднюю скорость по всем опытам.

3. Придумайте пример, где обычное среднее вводит в заблуждение. Объясните, почему так происходит.

---

§5.7. Задачи, приближённые к ОГЭ и ЕГЭ

Задача 1. Физика, ОГЭ: средняя скорость

Автомобиль проехал \(150\) км за \(3\) часа. Найдите среднюю скорость автомобиля.

Решение.

Используем формулу:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{s}{t}. \]

Подставляем:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{150}{3} = 50 \text{ км/ч}. \]

Ответ:

\[ 50 \text{ км/ч}. \]

Задача 2. Физика, ОГЭ: движение с остановкой

Турист прошёл \(12\) км за \(3\) часа, затем отдыхал \(1\) час, затем прошёл ещё \(8\) км за \(2\) часа. Найдите среднюю скорость туриста за всё время.

Решение.

Общий путь:

\[ s_{\text{общ}} = 12 + 8 = 20 \text{ км}. \]

Общее время:

\[ t_{\text{общ}} = 3 + 1 + 2 = 6 \text{ ч}. \]

Средняя скорость:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{20}{6} \approx 3{,}33 \text{ км/ч}. \]

Ответ:

\[ 3{,}33 \text{ км/ч}. \]

Задача 3. Математика: среднее арифметическое

Найдите среднее арифметическое чисел:

\[ 7,\quad 9,\quad 10,\quad 14. \]

Решение.

\[ \overline{x} = \frac{7 + 9 + 10 + 14}{4} = \frac{40}{4} = 10. \]

Ответ:

\[ 10. \]

Задача 4. Математика: взвешенное среднее

Итоговая оценка считается так: тест имеет вес \(1\), самостоятельная работа — вес \(2\), контрольная — вес \(3\). Ученик получил \(5\) за тест, \(4\) за самостоятельную и \(3\) за контрольную. Найдите взвешенное среднее.

Решение.

\[ \overline{x} = \frac{5\cdot 1 + 4\cdot 2 + 3\cdot 3}{1 + 2 + 3}. \]

\[ \overline{x} = \frac{5 + 8 + 9}{6} = \frac{22}{6} \approx 3{,}67. \]

Ответ:

\[ 3{,}67. \]

Задача 5. Информатика: среднее по списку

Что выведет программа?

values = [2, 4, 6, 8]
print(sum(values) / len(values))

Решение.

Сумма чисел:

\[ 2 + 4 + 6 + 8 = 20. \]

Количество чисел: \(4\).

Среднее:

\[ \frac{20}{4} = 5. \]

Ответ:

5.0

Задача 6. Информатика: средняя скорость по данным

Что выведет программа?

distances = [30, 70]
times = [1, 2]

v_avg = sum(distances) / sum(times)
print(v_avg)

Решение.

Общий путь:

\[ 30 + 70 = 100. \]

Общее время:

\[ 1 + 2 = 3. \]

Средняя скорость:

\[ \frac{100}{3} = 33{,}333\ldots \]

Python выведет приближённое дробное число:

33.333333333333336

Ответ:

33.333333333333336

---

§5.8. Итог

Главный вывод

Среднее значение помогает описать набор разных значений одним числом.

В физике средняя скорость равна общему пути, делённому на общее время:

\[ v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{общ}}}{t_{\text{общ}}}. \]

В математике среднее арифметическое равно сумме чисел, делённой на их количество:

\[ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}. \]

Если значения имеют разную важность, используют взвешенное среднее:

\[ \overline{x} = \frac{x_1w_1 + x_2w_2 + \ldots + x_nw_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}. \]

Что нужно запомнить

• Средняя скорость считается через общий путь и общее время.
• Средняя скорость не всегда равна среднему арифметическому скоростей.
• Обычное среднее подходит, когда все значения имеют одинаковый вес.
• Взвешенное среднее нужно, когда значения имеют разную важность или разную длительность.
• Среднее значение может не совпадать ни с одним исходным значением.
• Выбросы могут сильно изменить среднее.
• В Python среднее арифметическое можно посчитать как sum(values) / len(values).
• Для пустого списка среднее не определено.

Ответы на три вопроса из начала

1. Автомобиль, который проехал \(60\) км со скоростью \(60\) км/ч и \(60\) км со скоростью \(30\) км/ч, имеет среднюю скорость не \(45\) км/ч, а \(40\) км/ч. Нужно делить общий путь на общее время.

2. Средняя оценка показывает общий уровень набора оценок. Она не обязана совпадать с реальной оценкой в журнале. Например, среднее может быть \(4{,}5\).

3. Если участки пути разные по длине или движение с разными скоростями длится разное время, просто складывать скорости и делить пополам нельзя. Нужно учитывать веса: время, путь или важность данных.

---

Мост к Модулю 2

В Модуле 1 мы научились описывать мир числами:

• измерять величины и учитывать погрешность;
• задавать положение координатами;
• описывать перемещение векторами;
• связывать путь, время и скорость;
• читать графики движения;
• находить средние значения.

Но пока мы в основном отвечали на вопрос:

как тело движется?

Теперь появляется новый вопрос:

почему тело движется именно так?

Почему оно начинает двигаться? Почему останавливается? Почему меняет направление? Почему деформируется пружина?

Ответ связан с силами.

В следующем модуле мы начнём изучать силы и взаимодействия.

Первый параграф Модуля 2:

§6. Сила как вектор.